- Exercício 4.21. Após dois anos de trabalho, o isolamento térmico de um forno retangular deverá ser substituído. Um dos engenheiros do setor, recomenda um isolante de condutividade igual a
, vendido em placas de 2 cm de espessura; outro engenheiro é de opinião que poderia ser usado um outro isolante de k igual a
.
em placas de 4 cm de espessura. Sabe-se que por razões de ordem técnica, o fluxo de calor através da parede do forno deve ser mantido constante e igual a
e que as temperaturas de trabalho são
e
, respectivamente, face interna do isolante e no ambiente. Sabendo-se que o coeficiente de película do ar no ambiente é
.
, pede-se: a) o número de placas de isolante em cada caso; b) o tipo de isolante que você recomendaria sabendo que o isolante de maior espessura tem preço por
maior.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Temperaturas: temperatura interna da face do isolamento
e temperatura ambiente . - Fluxo de calor exigido:
. - Coeficiente de película (convecção) no ambiente:
. - Dois tipos de isolante (placas):
- Tipo A:
, espessura por placa . - Tipo B:
, espessura por placa .
- Tipo A:
- Informação de preço: o isolante de maior espessura (tipo B) tem preço por
maior que o do tipo A.
O enunciado pede:
(a) o número de placas necessárias em cada caso para obter o fluxo pedido;
(b) uma recomendação entre os dois isolantes sabendo a diferença de preço.
(a) o número de placas necessárias em cada caso para obter o fluxo
(b) uma recomendação entre os dois isolantes sabendo a diferença de preço.
Passo 2
Modelo físico e fórmula básica (explicação didática).
O calor atravessa, por unidade de área, a sequência: face interna (temperatura
) → isolamento (condução) → superfície externa do isolamento → ar ambiente (convecção). Para regime estacionário e um painel plano, o fluxo por unidade de área é dado por
onde
é a resistência térmica total por unidade de área (unidade:
). As resistências em série somam:
- A resistência convectiva do ar na face externa é
. Isso tem sentido porque é um coeficiente de troca que relaciona fluxo e diferença de temperatura: . - A resistência do isolante (para
placas de espessura cada) é a resistência de condução:
pois a resistência linear é espessura sobre condutividade.
Vamos usar essas fórmulas para achar quantas placas
são necessárias.
Passo 3
Calcular a resistência total necessária a partir de
.
A diferença de temperatura é
A resistência total exigida para obter
é
Efetuando a divisão:
Passo 4
Subtrair a resistência convectiva para obter a resistência que deve ser provida pelo isolante.
A resistência convectiva externa é
Logo a resistência que precisa estar no isolante é
Passo 5
Relacionar
com o número
de placas e isolar
.
Temos a fórmula da resistência do isolante:
Isolando
:
Isto faz sentido: quanto maior
mais placas são necessárias para a mesma resistência (observe:
no numerador aqui porque
cresce com
e diminui com
; ao isolar
aparece multiplicando por
) — cuidado: se
aumenta (material mais condutor), para obter mesma resistência precisa-se de mais espessura, ou seja mais placas.
Passo 6
Calcular
para o isolante tipo A (
,
).
Aplicando a fórmula:
Calcule passo a passo:
Interpretação prática: o resultado
significa que seriam necessárias cerca de
placas de
para obter exatamente
. Como não se usa fração de placa na prática, devemos escolher um número inteiro de placas. Para garantir que o fluxo não ultrapasse o valor especificado (isto é, para não reduzir a resistência demais), escolhe-se arredondar para cima:
placas.
Verificação do fluxo resultante com
:
Ou seja, com 5 placas o fluxo fica um pouco abaixo de
, o que é seguro (menos perda de calor).
Passo 7
Calcular
para o isolante tipo B (
,
).
Aplicando a fórmula:
Passo a passo:
Na prática arredondamos para cima:
placas de
.
Verificação do fluxo com
:
Também fica um pouco abaixo de
, portanto aceitável.
Passo 8
Comparação de custos e recomendação (explicando raciocínio).
Seja
o preço por
das placas finas (tipo A). Pelo enunciado, o preço por
das placas grossas (tipo B) é
.
Custo por
para atender a necessidade:
Comparando numericamente,
é menor que
. Em percentual, a opção B custa
ou seja,
mais barata que a opção A para obter a resistência necessária.
Além do menor custo, a opção B produz um fluxo
muito próximo do valor exigido
, enquanto a opção A dá
(mais excesso de isolamento). Considerando custo e o fato de ambas atendem (ficam com fluxo um pouco abaixo de
), a recomendação técnica-econômica é adotar o isolante tipo B (placas de
).
Resposta
a) isolante
(placas de
):
placas; isolante
(placas de
):
placas.
b) Recomenda-se o isolante (placas de
), pois atende ao requisito com custo total por
menor.
b) Recomenda-se o isolante