• Exercício 4.21. Após dois anos de trabalho, o isolamento térmico de um forno retangular deverá ser substituído. Um dos engenheiros do setor, recomenda um isolante de condutividade igual a 0,045 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, vendido em placas de 2 cm de espessura; outro engenheiro é de opinião que poderia ser usado um outro isolante de k igual a 0.055 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}. { }^{\circ} \mathrm{C} em placas de 4 cm de espessura. Sabe-se que por razões de ordem técnica, o fluxo de calor através da parede do forno deve ser mantido constante e igual a 350 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} e que as temperaturas de trabalho são 800^{\circ} \mathrm{C} e 25^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, face interna do isolante e no ambiente. Sabendo-se que o coeficiente de película do ar no ambiente é 20 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2}. { }^{\circ} \mathrm{C}, pede-se: a) o número de placas de isolante em cada caso; b) o tipo de isolante que você recomendaria sabendo que o isolante de maior espessura tem preço por \mathrm{m}^{2} 35 \% maior.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Temperaturas: temperatura interna da face do isolamento T_i=800^\circ\mathrm{C} e temperatura ambiente T_a=25^\circ\mathrm{C}.
  • Fluxo de calor exigido: q=350\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
  • Coeficiente de película (convecção) no ambiente: h=20\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Dois tipos de isolante (placas):
    • Tipo A: k_1=0,045\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}), espessura por placa t_1=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
    • Tipo B: k_2=0,055\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}), espessura por placa t_2=4\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}.
  • Informação de preço: o isolante de maior espessura (tipo B) tem preço por \mathrm{m}^2 35\% maior que o do tipo A.
O enunciado pede:
(a) o número de placas necessárias em cada caso para obter o fluxo q pedido;
(b) uma recomendação entre os dois isolantes sabendo a diferença de preço.

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica (explicação didática).
O calor atravessa, por unidade de área, a sequência: face interna (temperatura T_i) → isolamento (condução) → superfície externa do isolamento → ar ambiente (convecção). Para regime estacionário e um painel plano, o fluxo por unidade de área é dado por
q=\frac{T_i-T_a}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a resistência térmica total por unidade de área (unidade: \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{kcal}). As resistências em série somam:
R_{\text{total}}=R_{\text{isolante}}+R_{\text{convecção}}.çã
  • A resistência convectiva do ar na face externa é R_{\text{convecção}}=\dfrac{1}{h}çã. Isso tem sentido porque h é um coeficiente de troca que relaciona fluxo e diferença de temperatura: q=h\Delta T_s.
  • A resistência do isolante (para n placas de espessura t cada) é a resistência de condução:
R_{\text{isolante}}=\frac{n\,t}{k},
pois a resistência linear é espessura sobre condutividade.
Vamos usar essas fórmulas para achar quantas placas n são necessárias.

Passo 3

Calcular a resistência total necessária a partir de q.
A diferença de temperatura é
\Delta T=T_i-T_a=800-25=775\\ ^\circ\mathrm{C}.
A resistência total exigida para obter q é
R_{\text{total}}=\frac{\Delta T}{q}=\frac{775}{350}.
Efetuando a divisão:
R_{\text{total}}=\frac{775}{350}=2{,}214285714\\ \mathrm{(h\cdot m^2\cdot^\circ C)/kcal}.

Passo 4

Subtrair a resistência convectiva para obter a resistência que deve ser provida pelo isolante.
A resistência convectiva externa é
R_{\text{convecção}}=\frac{1}{h}=\frac{1}{20}=0{,}05\\ \mathrm{(h\cdot m^2\cdot^\circ C)/kcal}.çã
Logo a resistência que precisa estar no isolante é
R_{\text{isolante,req}}=R_{\text{total}}-R_{\text{convecção}}=2{,}214285714-0{,}05=2{,}164285714.çã

Passo 5

Relacionar R_{\text{isolante,req}} com o número n de placas e isolar n.
Temos a fórmula da resistência do isolante:
R_{\text{isolante}}=\frac{n\,t}{k}.
Isolando n:
n=\frac{R_{\text{isolante,req}}\;k}{t}.
Isto faz sentido: quanto maior k mais placas são necessárias para a mesma resistência (observe: k no numerador aqui porque R_{\text{isolante}} cresce com n\,t e diminui com k; ao isolar n aparece multiplicando por k) — cuidado: se k aumenta (material mais condutor), para obter mesma resistência precisa-se de mais espessura, ou seja mais placas.

Passo 6

Calcular n para o isolante tipo A ( k_1=0{,}045, t_1=0{,}02\\ \mathrm{m}).
Aplicando a fórmula:
n_1=\frac{R_{\text{isolante,req}}\;k_1}{t_1}=\frac{2{,}164285714\times0{,}045}{0{,}02}.
Calcule passo a passo:
2{,}164285714\times0{,}045=0{,}09739285713,
n_1=\frac{0{,}09739285713}{0{,}02}=4{,}8696428565\approx4{,}87.
Interpretação prática: o resultado n_1\approx4{,}87 significa que seriam necessárias cerca de 4{,}87 placas de 2\\ \mathrm{cm} para obter exatamente q=350. Como não se usa fração de placa na prática, devemos escolher um número inteiro de placas. Para garantir que o fluxo não ultrapasse o valor especificado (isto é, para não reduzir a resistência demais), escolhe-se arredondar para cima: n_1=5 placas.
Verificação do fluxo resultante com n_1=5:
R_{\text{isolante,1}}=\frac{5\times0{,}02}{0{,}045}=\frac{0{,}1}{0{,}045}=2{,}222222222,
R_{\text{total,1}}=R_{\text{isolante,1}}+R_{\text{convecção}}=2{,}222222222+0{,}05=2{,}272222222,çã
q_1=\frac{775}{2{,}272222222}=341{,}1764706\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2)\approx341{,}18.
Ou seja, com 5 placas o fluxo fica um pouco abaixo de 350, o que é seguro (menos perda de calor).

Passo 7

Calcular n para o isolante tipo B ( k_2=0{,}055, t_2=0{,}04\\ \mathrm{m}).
Aplicando a fórmula:
n_2=\frac{R_{\text{isolante,req}}\;k_2}{t_2}=\frac{2{,}164285714\times0{,}055}{0{,}04}.
Passo a passo:
2{,}164285714\times0{,}055=0{,}11903571427,
n_2=\frac{0{,}11903571427}{0{,}04}=2{,}9758928568\approx2{,}98.
Na prática arredondamos para cima: n_2=3 placas de 4\\ \mathrm{cm}.
Verificação do fluxo com n_2=3:
R_{\text{isolante,2}}=\frac{3\times0{,}04}{0{,}055}=\frac{0{,}12}{0{,}055}=2{,}1818181818,
R_{\text{total,2}}=2{,}1818181818+0{,}05=2{,}2318181818,
q_2=\frac{775}{2{,}2318181818}=347{,}518\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2)\approx347{,}52.
Também fica um pouco abaixo de 350, portanto aceitável.

Passo 8

Comparação de custos e recomendação (explicando raciocínio).
Seja P o preço por \mathrm{m}^2 das placas finas (tipo A). Pelo enunciado, o preço por \mathrm{m}^2 das placas grossas (tipo B) é 1{,}35P.
Custo por \mathrm{m}^2 para atender a necessidade:
\text{Custo}_1 = n_1\cdot P = 5P,
\text{Custo}_2 = n_2\cdot(1{,}35P) = 3\times1{,}35P=4{,}05P.
Comparando numericamente, \text{Custo}_2=4{,}05P é menor que \text{Custo}_1=5P. Em percentual, a opção B custa
\frac{4{,}05P}{5P}=0{,}81
ou seja, 19\% mais barata que a opção A para obter a resistência necessária.
Além do menor custo, a opção B produz um fluxo q_2\approx347{,}52 muito próximo do valor exigido 350, enquanto a opção A dá q_1\approx341{,}18 (mais excesso de isolamento). Considerando custo e o fato de ambas atendem (ficam com fluxo um pouco abaixo de 350), a recomendação técnica-econômica é adotar o isolante tipo B (placas de 4\\ \mathrm{cm}).

Resposta

a) isolante k=0,045 (placas de 2\\ \mathrm{cm}): 5 placas; isolante k=0,055 (placas de 4\\ \mathrm{cm}): 3 placas.
b) Recomenda-se o isolante k=0,055 (placas de 4\\ \mathrm{cm}), pois atende ao requisito com custo total por \mathrm{m}^2 menor.

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