Exercício 2.
Durante uma investigação para o controle de qualidade do concreto usinado em uma obra de grande porte, foram coletados dados da resistência à compressão de 60 corpos de prova, todos com 28 dias de cura. Os resultados (em MPa ) foram organizados na seguinte tabela de classes:
Intervalo de resistência (MPa)
Frequência Absoluta (f)
3
7
18
20
9
3
Com base na tabela de frequência apresentada:
- Construa a tabela completa contendo a Frequência relativa
- Faça o histograma com base nas frequências absolutas e analise a distribuição (simétrica, assimétrica à direita ou à esquerda).
- Sabendo que o valor mínimo especificado em projeto é de 28 MPa , calcule a proporção de corpos de prova que estão abaixo desse valor. Comente sobre as implicações desse resultado para a segurança estrutural da obra.
| Intervalo de resistência (MPa) | Frequência Absoluta (f) |
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3 |
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7 |
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18 |
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20 |
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9 |
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3 |
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
corpos de prova com as classes de resistência (em MPa) e as frequências absolutas abaixo:
As perguntas são:
- Construir a tabela completando a frequência relativa para cada classe.
- Fazer o histograma com base nas frequências absolutas e analisar a forma da distribuição (simétrica, assimétrica à direita ou à esquerda).
- Calcular a proporção de corpos de prova abaixo de
MPa (valor mínimo do projeto) e comentar implicações para a segurança estrutural.
Passo 2
O que é frequência relativa e como calcular: a frequência relativa de uma classe é a proporção daquela classe no total da amostra; a fórmula é
onde
é a frequência absoluta da classe e
é o total (
). Vou calcular para cada classe mostrando também a porcentagem.
Calculemos classe a classe:
Passo 3
Tabela completa (resumo): aqui mostro explicitamente cada linha com frequência absoluta
e frequência relativa
.
Passo 4
Como construir o histograma (passo a passo didático):
- Eixo horizontal (x): as classes de resistência; cada barra tem largura igual ao comprimento da classe
MPa. - Eixo vertical (y): frequência absoluta (nº de corpos de prova).
- Para cada classe desenhe uma barra cuja altura é a respectiva frequência
.
Representação textual do histograma (cada bloco representa 1 unidade de frequência):
███
███████
████████████████████
████████████████████████
██████████
███
Se você for desenhar no caderno: marque o eixo y de 0 até 20 (ou 0 a 25) e desenhe cada barra com largura 2 (ou simplesmente barras adjacentes com rótulos das classes) e alturas conforme os valores acima.
Passo 5
Análise da forma da distribuição (como decidir simetria / assimetria):
- Uma forma prática é comparar média e mediana: se média
mediana → assimetria à direita; se média mediana → assimetria à esquerda; se próximas → aproximadamente simétrica. Também observamos a forma das barras do histograma (onde a cauda se estende mais).
Vou calcular média e mediana aproximadas usando dados agrupados (explico as fórmulas antes):
Média aproximada para dados agrupados:
onde
é o ponto médio da classe
(por exemplo, para
temos
).
Calculemos os pontos médios e a soma:
Logo
Passo 6
Mediana aproximada para dados agrupados (fórmula e cálculo):
- Primeiro encontramos a classe mediana: posição
. Usamos as frequências acumuladas:
A observação de ordem
está na classe
(porque a acumulada antes dela é
e depois é
).
Fórmula da mediana por interpolação na classe mediana:
onde
é o limite inferior da classe mediana (
),
é a frequência acumulada antes da classe mediana (
),
é a frequência da classe mediana (
) e
é a largura da classe (
).
Então
Passo 7
Conclusão sobre assimetria:
- Temos
e . Como (ligeiramente), isso indica uma assimetria leve à esquerda (assimétrica à esquerda, cauda para valores menores). - Observando o histograma: pico nas classes centrais (
e ) e quedas mais rápidas para a direita do pico do que para a esquerda, o que é coerente com uma leve assimetria à esquerda.
Logo a distribuição é levemente assimétrica à esquerda (assimetria negativa), não sendo fortemente inclinada — é próxima de simétrica, mas com pequena cauda para valores menores.
Passo 8
Proporção de corpos de prova abaixo de
MPa:
- Assumo a convenção típica de classes do tipo
(ou seja, o limite superior não pertence à classe), então o valor exatamente MPa pertence à classe e portanto não conta como "abaixo de ". Assim, abaixo de são as duas primeiras classes:
Proporção:
Passo 9
Interpretação e implicações para a segurança estrutural (explicação didática e prática):
- Ter
das amostras abaixo da resistência especificada de MPa é preocupante: significa que cerca de 1 em cada 6 corpos de prova falharam em atingir a resistência mínima exigida pelo projeto. - Implicações práticas: se esse resultado refletir a qualidade real do concreto em obra, pode haver risco de desempenho estrutural reduzido, fissuração excessiva ou até redução da capacidade de carga em elementos críticos.
- O que fazer: investigar causa (dosagem, adensamento, cura, controle de materiais), coletar mais amostras, verificar variabilidade, possivelmente executar ensaios complementares e, dependendo dos resultados e da criticidade estrutural, executar ações corretivas (reforço, substituição de trechos, revisão de segurança).
- Em termos estatísticos, a amostra sugere não conformidade significativa com a especificação; recomenda-se atenção imediata ao controle de qualidade.
Resposta
(1) Tabela de frequências relativas:
(2) Histograma: barras com alturas iguais às frequências
para as classes
. A distribuição é levemente assimétrica à esquerda (assimetria negativa).
(3) Proporção abaixo de
MPa:
. Implicação: cerca de
das amostras não atendem à resistência mínima especificada — sinal de possível problema de qualidade que exige investigação e ações corretivas para garantir segurança estrutural.