Exercício 2.

Durante uma investigação para o controle de qualidade do concreto usinado em uma obra de grande porte, foram coletados dados da resistência à compressão de 60 corpos de prova, todos com 28 dias de cura. Os resultados (em MPa ) foram organizados na seguinte tabela de classes:
Intervalo de resistência (MPa) Frequência Absoluta (f)
24,0 \vdash 26,0 3
26,0 \vdash 28,0 7
28,0 \vdash 30,0 18
30,0 \vdash 32,0 20
32,0 \vdash 34,0 9
34,0 \vdash 36,0 3
Com base na tabela de frequência apresentada:
  1. Construa a tabela completa contendo a Frequência relativa
  2. Faça o histograma com base nas frequências absolutas e analise a distribuição (simétrica, assimétrica à direita ou à esquerda).
  3. Sabendo que o valor mínimo especificado em projeto é de 28 MPa , calcule a proporção de corpos de prova que estão abaixo desse valor. Comente sobre as implicações desse resultado para a segurança estrutural da obra.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=60 corpos de prova com as classes de resistência (em MPa) e as frequências absolutas abaixo:
\begin{array}{lc} \text{Intervalo (MPa)} & f \\\ \hline 24,0 \vdash 26,0 & 3 \\\\ 26,0 \vdash 28,0 & 7 \\\\ 28,0 \vdash 30,0 & 18 \\\\ 30,0 \vdash 32,0 & 20 \\\\ 32,0 \vdash 34,0 & 9 \\\\ 34,0 \vdash 36,0 & 3 \\\ \end{array}
As perguntas são:
  1. Construir a tabela completando a frequência relativa para cada classe.
  2. Fazer o histograma com base nas frequências absolutas e analisar a forma da distribuição (simétrica, assimétrica à direita ou à esquerda).
  3. Calcular a proporção de corpos de prova abaixo de 28 MPa (valor mínimo do projeto) e comentar implicações para a segurança estrutural.

Passo 2

O que é frequência relativa e como calcular: a frequência relativa de uma classe é a proporção daquela classe no total da amostra; a fórmula é
\text{frequência relativa} = \frac{f_i}{n},ê
onde f_i é a frequência absoluta da classe e n é o total ( n=60). Vou calcular para cada classe mostrando também a porcentagem.
Calculemos classe a classe:
\begin{aligned} &\text{Para }24,0\vdash26,0:\\ f=3,\quad fr=\frac{3}{60}=0,05=5\%\\\ &\text{Para }26,0\vdash28,0:\\ f=7,\quad fr=\frac{7}{60}\approx0,1167=11,67\%\\\ &\text{Para }28,0\vdash30,0:\\ f=18,\quad fr=\frac{18}{60}=0,30=30\%\\\ &\text{Para }30,0\vdash32,0:\\ f=20,\quad fr=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\approx0,3333=33,33\%\\\ &\text{Para }32,0\vdash34,0:\\ f=9,\quad fr=\frac{9}{60}=0,15=15\%\\\ &\text{Para }34,0\vdash36,0:\\ f=3,\quad fr=\frac{3}{60}=0,05=5\% \end{aligned}

Passo 3

Tabela completa (resumo): aqui mostro explicitamente cada linha com frequência absoluta f e frequência relativa fr.
\begin{array}{lcc} \text{Intervalo (MPa)} & f & fr \\\ \hline 24,0 \vdash 26,0 & 3 & 0,05\\ (5\%)\\\\ 26,0 \vdash 28,0 & 7 & 0,1167\\ (11,67\%)\\\\ 28,0 \vdash 30,0 & 18 & 0,30\\ (30\%)\\\\ 30,0 \vdash 32,0 & 20 & 0,3333\\ (33,33\%)\\\\ 32,0 \vdash 34,0 & 9 & 0,15\\ (15\%)\\\\ 34,0 \vdash 36,0 & 3 & 0,05\\ (5\%)\\\ \hline \text{Total} & 60 & 1,00\\ (100\%) \end{array}

Passo 4

Como construir o histograma (passo a passo didático):
  • Eixo horizontal (x): as classes de resistência; cada barra tem largura igual ao comprimento da classe h=2 MPa.
  • Eixo vertical (y): frequência absoluta (nº de corpos de prova).
  • Para cada classe desenhe uma barra cuja altura é a respectiva frequência f.
Representação textual do histograma (cada bloco representa 1 unidade de frequência):
24,0\vdash26,0: ███ \\ (3)
26,0\vdash28,0: ███████ \\ (7)
28,0\vdash30,0: ████████████████████ \\ (18)
30,0\vdash32,0: ████████████████████████ \\ (20)
32,0\vdash34,0: ██████████ \\ (9)
34,0\vdash36,0: ███ \\ (3)
Se você for desenhar no caderno: marque o eixo y de 0 até 20 (ou 0 a 25) e desenhe cada barra com largura 2 (ou simplesmente barras adjacentes com rótulos das classes) e alturas conforme os valores acima.

Passo 5

Análise da forma da distribuição (como decidir simetria / assimetria):
  • Uma forma prática é comparar média e mediana: se média > mediana → assimetria à direita; se média < mediana → assimetria à esquerda; se próximas → aproximadamente simétrica. Também observamos a forma das barras do histograma (onde a cauda se estende mais).
Vou calcular média e mediana aproximadas usando dados agrupados (explico as fórmulas antes):
Média aproximada para dados agrupados:
\bar{x}=\frac{\sum f_i m_i}{n},
onde m_i é o ponto médio da classe i (por exemplo, para 24,0\vdash26,0 temos m=25).
Calculemos os pontos médios e a soma:
\begin{aligned} m\text{ (MPa)} &= 25,\\\ 27,\\\ 29,\\\ 31,\\\ 33,\\\ 35\\\ \sum f_i m_i &= 25\cdot3 + 27\cdot7 + 29\cdot18 + 31\cdot20 + 33\cdot9 + 35\cdot3 \\\ &=75+189+522+620+297+105=1808. \end{aligned}
Logo
\bar{x}=\frac{1808}{60}=\frac{1808}{60}\approx 30,1333\ldots \\ (\text{ou }30,13\text{ MPa})

Passo 6

Mediana aproximada para dados agrupados (fórmula e cálculo):
  • Primeiro encontramos a classe mediana: posição N/2=\dfrac{60}{2}=30. Usamos as frequências acumuladas:
\begin{aligned} \text{até }24,0\vdash26,0 &: 3\\\ \text{até }26,0\vdash28,0 &: 3+7=10\\\ \text{até }28,0\vdash30,0 &: 10+18=28\\\ \text{até }30,0\vdash32,0 &: 28+20=48 \end{aligned}éééé
A observação de ordem 30 está na classe 30,0\vdash32,0 (porque a acumulada antes dela é 28<30 e depois é 48\ge30).
Fórmula da mediana por interpolação na classe mediana:
\text{Mediana}=L + \frac{\left(\dfrac{N}{2}-F_b\right)}{f_{med}}\cdot h,
onde L é o limite inferior da classe mediana ( L=30), F_b é a frequência acumulada antes da classe mediana ( F_b=28), f_{med} é a frequência da classe mediana ( f_{med}=20) e h é a largura da classe ( h=2).
Então
\text{Mediana}=30 + \frac{30-28}{20}\cdot 2 = 30 + \frac{2}{20}\cdot 2 = 30 + 0,2 = 30,2\\ \text{MPa}.

Passo 7

Conclusão sobre assimetria:
  • Temos \bar{x}\approx 30,13 e \text{Mediana}\approx 30,2. Como \bar{x}<\text{Mediana} (ligeiramente), isso indica uma assimetria leve à esquerda (assimétrica à esquerda, cauda para valores menores).
  • Observando o histograma: pico nas classes centrais ( 28\vdash30 e 30\vdash32) e quedas mais rápidas para a direita do pico do que para a esquerda, o que é coerente com uma leve assimetria à esquerda.
Logo a distribuição é levemente assimétrica à esquerda (assimetria negativa), não sendo fortemente inclinada — é próxima de simétrica, mas com pequena cauda para valores menores.

Passo 8

Proporção de corpos de prova abaixo de 28 MPa:
  • Assumo a convenção típica de classes do tipo [a,b) (ou seja, o limite superior não pertence à classe), então o valor exatamente 28,0 MPa pertence à classe 28,0\vdash30,0 e portanto não conta como "abaixo de 28". Assim, abaixo de 28 são as duas primeiras classes:
\text{Total abaixo de }28 = 3 + 7 = 10.
Proporção:
\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\approx 0,1667 = 16,67\%.

Passo 9

Interpretação e implicações para a segurança estrutural (explicação didática e prática):
  • Ter 16{,}67\% das amostras abaixo da resistência especificada de 28 MPa é preocupante: significa que cerca de 1 em cada 6 corpos de prova falharam em atingir a resistência mínima exigida pelo projeto.
  • Implicações práticas: se esse resultado refletir a qualidade real do concreto em obra, pode haver risco de desempenho estrutural reduzido, fissuração excessiva ou até redução da capacidade de carga em elementos críticos.
  • O que fazer: investigar causa (dosagem, adensamento, cura, controle de materiais), coletar mais amostras, verificar variabilidade, possivelmente executar ensaios complementares e, dependendo dos resultados e da criticidade estrutural, executar ações corretivas (reforço, substituição de trechos, revisão de segurança).
  • Em termos estatísticos, a amostra sugere não conformidade significativa com a especificação; recomenda-se atenção imediata ao controle de qualidade.

Resposta

(1) Tabela de frequências relativas:
24,0\vdash26,0:\\\ 3,\\ fr=0,05\\ (5\%)
26,0\vdash28,0:\\\ 7,\\ fr\approx0,1167\\ (11,67\%)
28,0\vdash30,0:\\\ 18,\\ fr=0,30\\ (30\%)
30,0\vdash32,0:\\\ 20,\\ fr\approx0,3333\\ (33,33\%)
32,0\vdash34,0:\\\ 9,\\ fr=0,15\\ (15\%)
34,0\vdash36,0:\\\ 3,\\ fr=0,05\\ (5\%)
(2) Histograma: barras com alturas iguais às frequências 3,7,18,20,9,3 para as classes 24\vdash26,\\\ 26\vdash28,\\\ 28\vdash30,\\\ 30\vdash32,\\\ 32\vdash34,\\\ 34\vdash36. A distribuição é levemente assimétrica à esquerda (assimetria negativa).
(3) Proporção abaixo de 28 MPa: \dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}\approx0,1667=16,67\%. Implicação: cerca de 16{,}7\% das amostras não atendem à resistência mínima especificada — sinal de possível problema de qualidade que exige investigação e ações corretivas para garantir segurança estrutural.

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