Exercício 3.
Uma equipe de engenharia civil está realizando o controle tecnológico de concretos utilizados em diferentes pavimentos de um edifício. Foram realizados ensaios de resistência à compressão axial (conforme a norma ABNT NBR 5739) em 15 corpos de prova de concreto com a mesma composição, produzidos e curados em condições controladas.
Os resultados obtidos, em MPa, foram os seguintes:
Dados de resistência à compressão (MPa):
- Calcule a média aritmética da resistência à compressão dos corpos de prova.
- Determine a moda do conjunto de dados. Interprete o resultado no contexto do controle tecnológico.
- Calcule a variância amostral e o desvio padrão amostral da resistência. Apresente todas as etapas do cálculo.
- Analise a dispersão dos dados obtidos: os valores são próximos da média? O controle de qualidade pode ser considerado estável?
- Com base nos resultados, qual seria a sua recomendação como engenheiro responsável pelo controle de qualidade do concreto?
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas claras:
- Calcular a média aritmética da resistência à compressão dos corpos de prova.
- Determinar a moda do conjunto e interpretar esse resultado no contexto do controle tecnológico.
- Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral, mostrando todas as etapas.
- Analisar a dispersão dos dados: se os valores são próximos da média e se o controle de qualidade pode ser considerado estável.
- Fazer uma recomendação, como engenheiro responsável, com base nos resultados.
Informações fornecidas (peguei os valores do enunciado):
Observação importante: o enunciado diz que foram realizados ensaios em
corpos de prova, mas na lista de resultados aparecem apenas
valores. Vou proceder com os
valores que estão explícitos, e indicarei essa discrepância para você (é importante avisar ao professor/controle).
Passo 2
Cálculo da média aritmética (passo a passo e com explicação didática).
Definição e fórmula: a média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Se os valores são
, a média é
onde
é a média,
é o número de observações e
são os valores observados.
Aplicando aos dados (usei os valores do enunciado acima;
):
Primeiro somo todos os valores (mostrando a soma por blocos para facilitar o cálculo à mão):
Primeiro somo todos os valores (mostrando a soma por blocos para facilitar o cálculo à mão):
Agrupando termos repetidos e somas parciais:
aparece 3 vezes e
aparece 2 vezes, então
Portanto
.
Agora a média:
Interpretação rápida: o valor médio de resistência é
MPa.
Passo 3
Determinação da moda e interpretação (explicando o conceito).
Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados. Se um valor aparece mais vezes que os outros, esse valor é a moda. Se dois ou mais valores aparecem com a mesma maior frequência, há mais de uma moda (multimodal).
Contagem simples (peguei os números novamente do enunciado):
-
aparece 3 vezes. -
aparece 2 vezes. - Os outros valores (
) aparecem 1 vez cada.
Logo a moda é o valor que aparece 3 vezes:
Interpretação no contexto do controle tecnológico: a moda indica o valor de resistência mais “comum” dentre as amostras. Se muitos corpos de prova dão exatamente
MPa, isso mostra que a produção frequentemente produz esse patamar de resistência — informação útil para identificar o comportamento típico do processo (por exemplo: se a resistência desejada é muito maior que isso, há motivo de atenção).
Passo 4
Cálculo detalhado da variância amostral e do desvio padrão amostral (passo a passo com a definição das fórmulas e significado de cada símbolo).
Definição e fórmulas:
- A variância amostral (estimador não viesado) é
onde
é a variância amostral,
é o tamanho da amostra,
são as observações e
é a média amostral. Usamos
(graus de liberdade) para obter um estimador não viesado da variância da população.
- O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
Ele fornece a dispersão na mesma unidade dos dados (aqui MPa).
Cálculo prático: calculo cada desvio
e o quadrado
. Como já calculei
, faço para cada valor (vou mostrar todos os passos para você poder reproduzir à mão):
Lista dos
, seus desvios e desvios ao quadrado (usei
):
Agora somo os quadrados dos desvios:
Cálculo da variância amostral:
Cálculo do desvio padrão amostral:
Comentário didático: a variância dá uma medida da dispersão em unidades ao quadrado (aqui
), por isso costumamos usar o desvio padrão
(mesma unidade dos dados) para interpretar facilmente quanto, em média, as observações se afastam da média.
Passo 5
Análise da dispersão e avaliação do controle de qualidade (com medida auxiliar: coeficiente de variação) e interpretação prática.
Coeficiente de variação (CV): é uma medida relativa de dispersão, definida por
Ele nos diz a dispersão relativa em porcentagem da média.
Aplicando:
Interpretação:
- Um
de aproximadamente é pequeno: indica baixa variabilidade relativa. Em termos práticos, os valores estão muito próximos da média MPa — isto é, as amostras são consistentes entre si. - A maioria dos desvios individuais que calculamos é menor que
MPa e muitos estão dentro de MPa, o que reforça que os resultados são “apertados” em torno da média. - Portanto, com base apenas nesses dados, o processo parece estável e com boa reprodutibilidade (controle de qualidade consistente).
Observação prática importante: estabilidade estatística também depende de critérios de aceitação do concreto (por exemplo, se era exigida resistência característica
de
MPa ou outro valor) e do tamanho da amostra. Aqui temos apenas
resultados (não os
mencionados), então eu recomendaria confirmar a amostra completa e, se necessário, rodar mais ensaios para ter maior confiança estatística.
Passo 6
Recomendações práticas como engenheiro responsável (objetiva e pragmática, com tom encorajador).
- Avisar sobre a discrepância de contagem: confirme se faltam dois resultados (o enunciado mencionou
corpos de prova). Peça/registre os dois resultados que faltam ou explique por que só há . - Como os dados mostram média
MPa e baixa dispersão ( ), eu diria que o processo está consistente. Se a especificação contratual exige, por exemplo, MPa como resistência característica, a média ligeiramente abaixo desse valor exigiria atenção (verificar se a resistência característica é calculada de outra forma — normalmente envolve média menos um fator de segurança, e também depende do desvio padrão e do tamanho da amostra). - Manter o controle: continuar com os procedimentos de usinagem, cura e ensaio atuais, mas reforçar a documentação e o controle de materiais (cimento, água, agregados) e cura, pois pequenas variações podem deslocar a média.
- Monitoramento contínuo: usar gráficos de controle (por exemplo, carta
-barra) para acompanhar o processo ao longo do tempo e detectar mudanças. - Amostragem adicional: se houver risco contratual ou entrega crítica, obter amostras adicionais até completar as
ou mais para reduzir a incerteza e confirmar a performance. - Mensagem final de incentivo: os resultados são bons do ponto de vista de consistência — continue monitorando com atenção e registre qualquer alteração no processo para agir rapidamente.
Resposta
-
MPa\n -
MPa. Interpretação: é o valor mais frequente nas amostras, indicando o patamar mais comum de resistência produzido.\n -
MPa e MPa (mostradas as etapas de cálculo nos passos anteriores).\n - Os valores são próximos da média; a dispersão é baixa (
), logo o controle de qualidade pode ser considerado estável com base nesses dados.\n - Recomendações: confirmar a discrepância (enunciado menciona
amostras, mas há valores), completar amostras se necessário, manter o processo atual (pois é consistente), usar cartas de controle e realizar amostragem adicional se houver exigência contratual de resistência maior (por exemplo MPa) ou risco associado.