Exercício 3.

Uma equipe de engenharia civil está realizando o controle tecnológico de concretos utilizados em diferentes pavimentos de um edifício. Foram realizados ensaios de resistência à compressão axial (conforme a norma ABNT NBR 5739) em 15 corpos de prova de concreto com a mesma composição, produzidos e curados em condições controladas.
Os resultados obtidos, em MPa, foram os seguintes:

Dados de resistência à compressão (MPa):

\begin{gathered} 28,4 \quad 29,1 \quad 27,9 \quad 28,4 \quad 30,0 \quad 29,7 \\\\ 28,4 \quad 27,5 \quad 30,2 \quad 28,8 \quad 29,1 \quad 28,6 \quad 29,6 \end{gathered}
  1. Calcule a média aritmética da resistência à compressão dos corpos de prova.
  2. Determine a moda do conjunto de dados. Interprete o resultado no contexto do controle tecnológico.
  3. Calcule a variância amostral e o desvio padrão amostral da resistência. Apresente todas as etapas do cálculo.
  4. Analise a dispersão dos dados obtidos: os valores são próximos da média? O controle de qualidade pode ser considerado estável?
  5. Com base nos resultados, qual seria a sua recomendação como engenheiro responsável pelo controle de qualidade do concreto?

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas claras:
  1. Calcular a média aritmética da resistência à compressão dos corpos de prova.
  2. Determinar a moda do conjunto e interpretar esse resultado no contexto do controle tecnológico.
  3. Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral, mostrando todas as etapas.
  4. Analisar a dispersão dos dados: se os valores são próximos da média e se o controle de qualidade pode ser considerado estável.
  5. Fazer uma recomendação, como engenheiro responsável, com base nos resultados.
Informações fornecidas (peguei os valores do enunciado):
\begin{gathered} 28,4,\;29,1,\;27,9,\;28,4,\;30,0,\;29,7,\\\\ 28,4,\;27,5,\;30,2,\;28,8,\;29,1,\;28,6,\;29,6 \end{gathered}
Observação importante: o enunciado diz que foram realizados ensaios em \,15 corpos de prova, mas na lista de resultados aparecem apenas \,13 valores. Vou proceder com os \,13 valores que estão explícitos, e indicarei essa discrepância para você (é importante avisar ao professor/controle).

Passo 2

Cálculo da média aritmética (passo a passo e com explicação didática).
Definição e fórmula: a média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Se os valores são \,x_1,\dots,x_n, a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores observados.
Aplicando aos dados (usei os valores do enunciado acima; n=13):
Primeiro somo todos os valores (mostrando a soma por blocos para facilitar o cálculo à mão):
\text{soma} = 28,4+29,1+27,9+28,4+30,0+29,7+28,4+27,5+30,2+28,8+29,1+28,6+29,6.
Agrupando termos repetidos e somas parciais: 28,4 aparece 3 vezes e 29,1 aparece 2 vezes, então
\begin{aligned} \text{soma} &= 3\cdot 28,4 + 2\cdot 29,1 +(27,9+30,0+29,7+27,5+30,2+28,8+28,6+29,6)\\\ &= 85,2 + 58,2 + 232,3\\\ &= 375,7. \end{aligned}
Portanto \sum_{i=1}^{13} x_i = 375,7.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{375,7}{13}=28,9.
Interpretação rápida: o valor médio de resistência é \,28,9 MPa.

Passo 3

Determinação da moda e interpretação (explicando o conceito).
Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados. Se um valor aparece mais vezes que os outros, esse valor é a moda. Se dois ou mais valores aparecem com a mesma maior frequência, há mais de uma moda (multimodal).
Contagem simples (peguei os números novamente do enunciado):
  • 28,4 aparece 3 vezes.
  • 29,1 aparece 2 vezes.
  • Os outros valores ( 27,9,30,0,29,7,27,5,30,2,28,8,28,6,29,6) aparecem 1 vez cada.
Logo a moda é o valor que aparece 3 vezes:
\text{moda} = 28,4.
Interpretação no contexto do controle tecnológico: a moda indica o valor de resistência mais “comum” dentre as amostras. Se muitos corpos de prova dão exatamente 28,4 MPa, isso mostra que a produção frequentemente produz esse patamar de resistência — informação útil para identificar o comportamento típico do processo (por exemplo: se a resistência desejada é muito maior que isso, há motivo de atenção).

Passo 4

Cálculo detalhado da variância amostral e do desvio padrão amostral (passo a passo com a definição das fórmulas e significado de cada símbolo).
Definição e fórmulas:
  • A variância amostral (estimador não viesado) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
onde s^{2} é a variância amostral, n é o tamanho da amostra, x_i são as observações e \bar{x} é a média amostral. Usamos n-1 (graus de liberdade) para obter um estimador não viesado da variância da população.
  • O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^{2}}.
Ele fornece a dispersão na mesma unidade dos dados (aqui MPa).
Cálculo prático: calculo cada desvio d_i=x_i-\bar{x} e o quadrado d_i^2. Como já calculei \bar{x}=28,9, faço para cada valor (vou mostrar todos os passos para você poder reproduzir à mão):
Lista dos x_i, seus desvios e desvios ao quadrado (usei \bar{x}=28,9):
\begin{aligned} x_1&=28,4,& d_1&=28,4-28,9=-0,5,& d_1^{2}&=0,25\\\ x_2&=29,1,& d_2&=29,1-28,9=0,2,& d_2^{2}&=0,04\\\ x_3&=27,9,& d_3&=27,9-28,9=-1,0,& d_3^{2}&=1,00\\\ x_4&=28,4,& d_4&=-0,5,& d_4^{2}&=0,25\\\ x_5&=30,0,& d_5&=1,1,& d_5^{2}&=1,21\\\ x_6&=29,7,& d_6&=0,8,& d_6^{2}&=0,64\\\ x_7&=28,4,& d_7&=-0,5,& d_7^{2}&=0,25\\\ x_8&=27,5,& d_8&=-1,4,& d_8^{2}&=1,96\\\ x_9&=30,2,& d_9&=1,3,& d_9^{2}&=1,69\\\ x_{10}&=28,8,& d_{10}&=-0,1,& d_{10}^{2}&=0,01\\\ x_{11}&=29,1,& d_{11}&=0,2,& d_{11}^{2}&=0,04\\\ x_{12}&=28,6,& d_{12}&=-0,3,& d_{12}^{2}&=0,09\\\ x_{13}&=29,6,& d_{13}&=0,7,& d_{13}^{2}&=0,49 \end{aligned}
Agora somo os quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{13} (x_i-\bar{x})^{2} = 0,25+0,04+1,00+0,25+1,21+0,64+0,25+1,96+1,69+0,01+0,04+0,09+0,49 = 7,92.
Cálculo da variância amostral:
s^{2}=\frac{7,92}{n-1}=\frac{7,92}{12}=0,66 \quad\text{(MPa}^2\text{)}.
Cálculo do desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0,66}\approx 0,81\quad\text{(MPa)}.
Comentário didático: a variância dá uma medida da dispersão em unidades ao quadrado (aqui \text{MPa}^2), por isso costumamos usar o desvio padrão s (mesma unidade dos dados) para interpretar facilmente quanto, em média, as observações se afastam da média.

Passo 5

Análise da dispersão e avaliação do controle de qualidade (com medida auxiliar: coeficiente de variação) e interpretação prática.
Coeficiente de variação (CV): é uma medida relativa de dispersão, definida por
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Ele nos diz a dispersão relativa em porcentagem da média.
Aplicando:
\text{CV}=\frac{0,81}{28,9}\times 100\%\approx 2,8\%.
Interpretação:
  • Um \text{CV} de aproximadamente \,2{,}8\% é pequeno: indica baixa variabilidade relativa. Em termos práticos, os valores estão muito próximos da média \,28,9 MPa — isto é, as amostras são consistentes entre si.
  • A maioria dos desvios individuais que calculamos é menor que \,1{,}4 MPa e muitos estão dentro de \pm 0,5 MPa, o que reforça que os resultados são “apertados” em torno da média.
  • Portanto, com base apenas nesses dados, o processo parece estável e com boa reprodutibilidade (controle de qualidade consistente).
Observação prática importante: estabilidade estatística também depende de critérios de aceitação do concreto (por exemplo, se era exigida resistência característica \,f_{ck} de 30 MPa ou outro valor) e do tamanho da amostra. Aqui temos apenas \,13 resultados (não os \,15 mencionados), então eu recomendaria confirmar a amostra completa e, se necessário, rodar mais ensaios para ter maior confiança estatística.

Passo 6

Recomendações práticas como engenheiro responsável (objetiva e pragmática, com tom encorajador).
  1. Avisar sobre a discrepância de contagem: confirme se faltam dois resultados (o enunciado mencionou 15 corpos de prova). Peça/registre os dois resultados que faltam ou explique por que só há 13.
  2. Como os dados mostram média \,28,9 MPa e baixa dispersão ( \text{CV}\approx 2{,}8\%), eu diria que o processo está consistente. Se a especificação contratual exige, por exemplo, 30 MPa como resistência característica, a média ligeiramente abaixo desse valor exigiria atenção (verificar se a resistência característica é calculada de outra forma — normalmente envolve média menos um fator de segurança, e também depende do desvio padrão e do tamanho da amostra).
  3. Manter o controle: continuar com os procedimentos de usinagem, cura e ensaio atuais, mas reforçar a documentação e o controle de materiais (cimento, água, agregados) e cura, pois pequenas variações podem deslocar a média.
  4. Monitoramento contínuo: usar gráficos de controle (por exemplo, carta x-barra) para acompanhar o processo ao longo do tempo e detectar mudanças.
  5. Amostragem adicional: se houver risco contratual ou entrega crítica, obter amostras adicionais até completar as 15 ou mais para reduzir a incerteza e confirmar a performance.
  6. Mensagem final de incentivo: os resultados são bons do ponto de vista de consistência — continue monitorando com atenção e registre qualquer alteração no processo para agir rapidamente.

Resposta

  1. \bar{x}=28,9 MPa\n
  2. \text{moda}=28,4 MPa. Interpretação: é o valor mais frequente nas amostras, indicando o patamar mais comum de resistência produzido.\n
  3. \;s^{2}=0,66 MPa ^2 e \;s\approx 0,81 MPa (mostradas as etapas de cálculo nos passos anteriores).\n
  4. Os valores são próximos da média; a dispersão é baixa ( \text{CV}\approx 2{,}8\%), logo o controle de qualidade pode ser considerado estável com base nesses dados.\n
  5. Recomendações: confirmar a discrepância (enunciado menciona 15 amostras, mas há 13 valores), completar amostras se necessário, manter o processo atual (pois é consistente), usar cartas de controle e realizar amostragem adicional se houver exigência contratual de resistência maior (por exemplo 30 MPa) ou risco associado.

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