Exercício 8. Uma empresa de engenharia mecatrônica está desenvolvendo um sistema de detecção de defeitos em peças produzidas por uma máquina automatizada. Sabe-se que a máquina tem uma taxa de 5 \% de produzir peças defeituosas.
Considere o experimento aleatório de inspecionar uma peça produzida pela máquina e determinar se ela é defeituosa ou não. Seja X(\omega) a variável aleatória que representa se a peça é defeituosa (X(\omega)=1) ou não (X(\omega)=0). Responda às seguintes perguntas:
  1. Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada aleatoriamente seja defeituosa?
  2. Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada aleatoriamente não seja defeituosa?
  3. Se 10 peças forem inspecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de exatamente 3 delas serem defeituosas?
  4. Se 10 peças forem inspecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos 1 delas ser defeituosa?

Passo 1

O enunciado trata de uma peça que sai defeituosa com probabilidade p=0,05 e não defeituosa com probabilidade 1-p=0,95. A variável X é Bernoulli (p) para cada peça isolada e, quando inspecionamos n=10 peças, o número de defeituosas segue uma distribuição Binomial \bigl(n=10,p=0,05\bigr). Usaremos essas duas distribuições para responder às perguntas.

Passo 2

Para uma única peça, X\sim\mathrm{Bernoulli}(p). A probabilidade de defeito é exatamente
P(X=1)=p=0,05.

Passo 3

Do mesmo modo, a probabilidade de não haver defeito em uma peça é
P(X=0)=1-p=0,95.

Passo 4

Quando inspecionamos n=10 peças independentes, o número Y de peças defeituosas tem distribuição
Y\sim\mathrm{Binomial}\bigl(n=10,\;p=0,05\bigr).
A probabilidade de ocorrer exatamente 3 defeitos é dada por
P(Y=3) =\binom{10}{3}\,(0,05)^{3}\,(0,95)^{7}.

Passo 5

Ainda para Y\sim\mathrm{Binomial}(10,0,05), a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa é o complemento de não haver defeitos:
P(Y\ge1) =1-P(Y=0) =1-(0,95)^{10}.

Resposta

  1. P(\text{peça defeituosa})=0,05ç
  2. P(\text{peça não defeituosa})=0,95çã
  3. P(\text{exatamente 3 defeituosas})=\displaystyle \binom{10}{3}\,(0,05)^{3}\,(0,95)^{7}
  4. P(\text{pelo menos 1 defeituosa})=1-(0,95)^{10}

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