Exercício 1 - Encontrando um vetor a partir de uma equação vetorial
Sejam os vetores
a=(2,-1,3) e b=(1,4,-2)
Sabendo que
r=2 a-3 b+x
e que o vetor resultante é
r=(5,-10,12),
determine o vetor x .

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede para determinar x. Dados:
a=(2,-1,3)
b=(1,4,-2)
r=(5,-10,12)
e a relação vetorial
r = 2a - 3b + x.
Pergunta: determine o vetor x.

Passo 2

Vamos isolar x na equação vetorial. Isso é feito usando as operações inversas (subtração/soma) em vetores, que funcionam componente a componente. Partindo de
r = 2a - 3b + x
subtraímos (2a-3b) dos dois lados para obter
x = r - (2a - 3b).
Distribuindo o sinal, fica mais prático escrever
x = r - 2a + 3b.
Observação didática: aqui usamos que subtrair um vetor é o mesmo que somar seu oposto; as operações são feitas componente a componente.

Passo 3

Calculemos 2a. A multiplicação de um escalar por um vetor multiplica cada componente:
2a = 2\cdot(2,-1,3).
Fazendo a multiplicação componente a componente:
2a = (4,-2,6).

Passo 4

Calculemos 3b. Novamente, multiplicamos cada componente de b por 3:
3b = 3\cdot(1,4,-2).
Portanto
3b = (3,12,-6).

Passo 5

Agora fazemos r - 2a. Subtração de vetores é componente a componente:
r - 2a = (5,-10,12) - (4,-2,6).
Calculando cada componente:
r - 2a = (5-4,\; -10-(-2),\; 12-6) = (1,-8,6).

Passo 6

Finalmente somamos (r-2a) com 3b para obter x:
x = (r-2a) + 3b = (1,-8,6) + (3,12,-6).
Somando componente a componente:
x = (1+3,\; -8+12,\; 6+(-6)) = (4,4,0).

Passo 7

Verificação rápida (só para ter certeza): calcule 2a - 3b + x e confira se resulta em r.
2a - 3b + x = (4,-2,6) - (3,12,-6) + (4,4,0).
2a - 3b = (1,-14,12),\quad (2a-3b)+x = (1,-14,12)+(4,4,0)=(5,-10,12)=r.
Confere certinho.

Resposta

x=(4,4,0)

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