Questão 7 Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
5. S=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,0,1),(-2,-1,1)\} \subset \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,0,1),(-2,-1,1)\}\subset\mathbb{R}^3
e pede para verificar se os vetores de S são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.).\n
Lista das informações relevantes:
v_1=(1,2,-1),\quad v_2=(-1,1,0),\quad v_3=(-3,0,1),\quad v_4=(-2,-1,1).
Pergunta clara: o conjunto S é L.I. ou L.D.?

Passo 2

Definição e ideia prática (explicação didática):
  • Dizemos que vetores são linearmente dependentes se existem escalares, não todos nulos, c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = (0,0,0).
  • Se a única solução desse sistema for c_1=c_2=c_3=c_4=0, então são linearmente independentes.
  • Observação útil (teorema): em \mathbb{R}^3 a dimensão é 3. Qualquer conjunto com mais de 3 vetores (aqui temos 4) é necessariamente linearmente dependente. Vou usar esse fato para afirmar a dependência, e em seguida vou encontrar explicitamente uma combinação linear não trivial que dá zero — isso é útil na prova e facilita aprender a fazer na hora da prova.

Passo 3

Aplicando o fato da dimensão:
Como temos quatro vetores em \mathbb{R}^3 (ou seja, mais vetores do que a dimensão do espaço), concluímos imediatamente que o conjunto S é linearmente dependente. Mas para treinar e ficar seguro, vamos mostrar explicitamente uma combinação não trivial que zera — assim você aprende a fazer passo a passo.

Passo 4

Montar o sistema para encontrar uma combinação não trivial:
Procuramos escalares x_1,x_2,x_3,x_4, não todos zero, tais que
x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 + x_4 v_4 = (0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada, isso equivale ao sistema linear homogêneo A x = 0, onde a matriz A tem colunas os vetores:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad x=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\\[2pt]x_4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Fazer eliminação (redução por linhas) para achar as soluções do sistema A x=0.
Começamos com a matriz ampliada (tipo de raciocínio sem coluna de termos porque é homogêneo):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Operações (vou explicar cada uma):
  1. Eliminamos o 2 na segunda linha usando R2 <- R2 - 2·R1:
\text{R2} = (2,1,0,-1) - 2\cdot(1,-1,-3,-2) = (0,3,6,3).
  1. Eliminamos o -1 na terceira linha usando R3 <- R3 + R1:
\text{R3} = (-1,0,1,1) + (1,-1,-3,-2) = (0,-1,-2,-1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 6 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Continuar a redução:
3) Simplificamos a segunda linha dividindo por 3: R2 <- (1/3)·R2 = (0,1,2,1).
4) Eliminamos o termo -1 da terceira linha somando R3 <- R3 + R2:
\text{R3} = (0,-1,-2,-1) + (0,1,2,1) = (0,0,0,0).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Finalizar a redução para obter equações para as incógnitas:
  1. Eliminamos o -1\) na posição (1,2) fazendo R1 <- R1 + R2: \[\text{R1} = (1,-1,-3,-2) + (0,1,2,1) = (1,0,-1,-1).
A forma reduzida (escalonada) é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Isso corresponde ao sistema de equações:
\begin{cases} x_1 - x_3 - x_4 = 0,\\[4pt] x_2 + 2x_3 + x_4 = 0. \end{cases}
As variáveis x_3\] e \(x_4 são livres (podemos escolher valores para elas).]

Passo 8

Escolher valores para as variáveis livres e obter uma combinação não trivial:
Vamos escolher x_3=1 e x_4=0. Então
x_1 = x_3 + x_4 = 1+0 = 1, \qquad x_2 = -2x_3 - x_4 = -2\cdot1 - 0 = -2.
Assim obtemos o vetor de coeficientes
x=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},
que não é o vetor zero. Verificamos a combinação:
1\cdot v_1 + (-2)\cdot v_2 + 1\cdot v_3 + 0\cdot v_4 = v_1 - 2v_2 + v_3 = (0,0,0).
Cálculo explícito (checando coordenada a coordenada):
v_1 - 2v_2 + v_3 = (1,2,-1) -2(-1,1,0) + (-3,0,1)
= (1,2,-1) + (2,-2,0) + (-3,0,1) = (0,0,0).
Portanto encontramos uma combinação linear não trivial que zera, comprovando L.D.]

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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