Dizemos que vetores são linearmente dependentes se existem escalares, não todos nulos, c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = (0,0,0).
Se a única solução desse sistema for c_1=c_2=c_3=c_4=0, então são linearmente independentes.
Observação útil (teorema): em \mathbb{R}^3 a dimensão é 3. Qualquer conjunto com mais de 3 vetores (aqui temos 4) é necessariamente linearmente dependente. Vou usar esse fato para afirmar a dependência, e em seguida vou encontrar explicitamente uma combinação linear não trivial que dá zero — isso é útil na prova e facilita aprender a fazer na hora da prova.
Passo 3
Aplicando o fato da dimensão:
Como temos quatro vetores em \mathbb{R}^3 (ou seja, mais vetores do que a dimensão do espaço), concluímos imediatamente que o conjunto S é linearmente dependente. Mas para treinar e ficar seguro, vamos mostrar explicitamente uma combinação não trivial que zera — assim você aprende a fazer passo a passo.
Passo 4
Montar o sistema para encontrar uma combinação não trivial:
Procuramos escalares x_1,x_2,x_3,x_4, não todos zero, tais que
x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 + x_4 v_4 = (0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada, isso equivale ao sistema linear homogêneo A x = 0, onde a matriz A tem colunas os vetores:
Fazer eliminação (redução por linhas) para achar as soluções do sistema A x=0.
Começamos com a matriz ampliada (tipo de raciocínio sem coluna de termos porque é homogêneo):
Continuar a redução:
3) Simplificamos a segunda linha dividindo por 3: R2 <- (1/3)·R2 = (0,1,2,1).
4) Eliminamos o termo -1 da terceira linha somando R3 <- R3 + R2: