Questão 7 Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
3. S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 8 \\\\ 0 & 5\end{array}\right]\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). O conjunto dado é
S=\left\{A_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},\; A_4=\begin{pmatrix}1 & 8 \\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}\right\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos quatro matrizes 2\times2.
  • A pergunta é: o conjunto S é L.I. ou L.D.?
  • Não há mais dados adicionais. A verificação de L.I./L.D. exige analisar se existe combinação linear não trivial que dê a matriz zero.]

Passo 2

Definição e estratégia (só para entender, sem cálculo ainda): um conjunto de vetores (aqui matrizes) é linearmente dependente se existem escalares, não todos nulos, tais que uma combinação linear dos vetores dá o vetor nulo. Em outras palavras, buscamos escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3+\delta A_4 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
com pelo menos um dos escalares diferente de zero. Se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=\delta=0, então o conjunto é linearmente independente.]

Passo 3

Vamos transformar as matrizes em vetores de \mathbb{R}^4 usando a ordem de entradas (1,1),(1,2),(2,1),(2,2). Assim:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}1\\[4pt]8\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Procuramos escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3+\delta v_4=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema linear de quatro equações em quatro incógnitas \alpha,\beta,\gamma,\delta\): \[\begin{cases} \alpha - \beta + \delta = 0,\\[6pt] 2\beta - \gamma + 8\delta = 0,\\[6pt] \alpha + 2\gamma = 0,\\[6pt] \alpha + \beta + \gamma + 5\delta = 0. \end{cases}
Explico o que cada equação representa:
  • A primeira linha vem da posição (1,1)\]: \(\alpha\cdot1+\beta\cdot(-1)+\gamma\cdot0+\delta\cdot1=0.
  • A segunda vem da posição (1,2): \alpha\cdot0+\beta\cdot2+\gamma\cdot(-1)+\delta\cdot8=0.
  • A terceira vem da posição (2,1): \alpha\cdot1+\beta\cdot0+\gamma\cdot2+\delta\cdot0=0.
  • A quarta vem da posição (2,2): \alpha\cdot1+\beta\cdot1+\gamma\cdot1+\delta\cdot5=0.]

Passo 5

Resolva o sistema passo a passo. Da terceira equação temos uma expressão direta para \alpha:
\alpha + 2\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -2\gamma.
Isso é simples: isolamos \alpha somando -2\gamma aos dois lados.

Passo 6

Substituímos \alpha=-2\gamma na primeira equação \alpha-\beta+\delta=0:
(-2\gamma) - \beta + \delta = 0 \quad\Rightarrow\quad -\beta -2\gamma + \delta = 0.
Isolando \beta:
\beta = -2\gamma + \delta.
Expliquei: basta passar os termos para o outro lado trocando sinais.

Passo 7

Agora substituímos \beta=-2\gamma+\delta na segunda equação 2\beta-\gamma+8\delta=0:
2(-2\gamma+\delta) - \gamma + 8\delta = 0.
Calcule os parênteses:
-4\gamma + 2\delta - \gamma + 8\delta = 0.
Some os termos semelhantes em \gamma e em \delta:
-5\gamma + 10\delta = 0.
Dividindo por 5 (operações permitidas em equações lineares):
-\gamma + 2\delta = 0 \quad\Rightarrow\quad \gamma = 2\delta.

Passo 8

Agora usamos \gamma=2\delta para obter \alpha e \beta:
\alpha = -2\gamma = -2(2\delta) = -4\delta,
\beta = -2\gamma + \delta = -2(2\delta)+\delta = -4\delta+\delta = -3\delta.
Então todas as incógnitas estão expressas em função de \delta.

Passo 9

Verifique a quarta equação para garantir consistência. A quarta é \alpha+\beta+\gamma+5\delta=0. Substituindo \alpha=-4\delta,\;\beta=-3\delta,\;\gamma=2\delta:
(-4\delta)+(-3\delta)+(2\delta)+5\delta = (-4-3+2+5)\delta = 0\cdot \delta = 0.
Portanto a quarta equação é satisfeita automaticamente — consistente com as substituições.

Passo 10

Interpretação: temos solução não-trivial porque podemos escolher \delta\neq 0 e obter \alpha,\beta,\gamma correspondentes. Por exemplo, tomando \delta=1 obtemos
\alpha=-4,\quad \beta=-3,\quad \gamma=2,\quad \delta=1.
Isto dá a combinação linear não nula
-4A_1-3A_2+2A_3+1A_4=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Mostro a verificação rápida por entradas (opcional, só para segurança):
\begin{aligned} (1,1):&\\\ -4\cdot1 + (-3)\cdot(-1) + 2\cdot0 + 1\cdot1 = -4+3+0+1=0,\\[4pt] (1,2):&\\\ -4\cdot0 + (-3)\cdot2 + 2\cdot(-1) + 1\cdot8 = 0-6-2+8=0,\\[4pt] (2,1):&\\\ -4\cdot1 + (-3)\cdot0 + 2\cdot2 + 1\cdot0 = -4+0+4+0=0,\\[4pt] (2,2):&\\\ -4\cdot1 + (-3)\cdot1 + 2\cdot1 + 1\cdot5 = -4-3+2+5=0. \end{aligned}
Tudo zera, então a combinação é válida e não trivial.]

Passo 11

Conclusão com explicação curta e amigável: como existe uma combinação linear não trivial que produz a matriz zero (por exemplo -4A_1-3A_2+2A_3+A_4=0), o conjunto S é linearmente dependente. Lembre-se: encontrar um único exemplo não trivial já basta para concluir dependência.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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