Exercício 9. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ), que geram os subespaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W.
U \doteq\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A^{t}=A\right\}, W \doteq\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right] e V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar conjuntos S\subset V=M_{2}(\mathbb{R}) que gerem os subespaços U=\{A\in M_{2}(\mathbb{R})\mid A^{t}=A\}, W=\bigl[\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}\bigr], U\cap W e U+W.
Lembrando que um conjunto gerador de um subespaço é um conjunto cujas combinações lineares cobrem todo o subespaço.

Passo 2

Para U, toda matriz simétrica de ordem 2 tem forma
\begin{pmatrix} a & b\\\ b & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Logo um conjunto gerador mínimo (base) é
S_U = \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} \right\}.

Passo 3

Para W, por definição é o subespaço gerado por um só vetor, então basta
S_W = \left\{ \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} \right\}.

Passo 4

Em U\cap W só entram as combinações \lambda\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} que também sejam simétricas. Isso impõe \lambda\cdot1=\lambda\cdot0,
logo \lambda=0. Assim
U\cap W=\{0\}
e um gerador é
S_{U\cap W}=\{0\}.

Passo 5

Como \dim U=3, \dim W=1 e U\cap W=\{0\}, segue \dim(U+W)=4, que é igual a \dim M_{2}(\mathbb{R}). Logo
U+W=V
e um gerador é a união dos anteriores:
S_{U+W} = S_U\cup S_W = \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} \right\}.

Resposta

S_U=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\} S_W=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}\} S_{U\cap W}=\{0\} S_{U+W}=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}\}

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