Exercício 9. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ), que geram os subespaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W. U \doteq\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A^{t}=A\right\}, W \doteq\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right] e V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar conjuntos S\subset V=M_{2}(\mathbb{R}) que gerem os subespaços U=\{A\in M_{2}(\mathbb{R})\mid A^{t}=A\}, W=\bigl[\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}\bigr], U\cap W e U+W.
Lembrando que um conjunto gerador de um subespaço é um conjunto cujas combinações lineares cobrem todo o subespaço.
Passo 2
Para U, toda matriz simétrica de ordem 2 tem forma
\begin{pmatrix} a & b\\\ b & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Logo um conjunto gerador mínimo (base) é
Em U\cap W só entram as combinações \lambda\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} que também sejam simétricas. Isso impõe \lambda\cdot1=\lambda\cdot0,
logo \lambda=0. Assim
U\cap W=\{0\}
e um gerador é
S_{U\cap W}=\{0\}.
Passo 5
Como \dim U=3, \dim W=1 e U\cap W=\{0\}, segue \dim(U+W)=4, que é igual a \dim M_{2}(\mathbb{R}). Logo