Exercício 1:
Encontre a área delimitada pela reta
e pela parábola
, integrando em relação a
e em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pela reta
e pela parábola
O conteúdo é cálculo de área por integração dupla unidimensional (usando integrais simples), tanto integrando em
quanto em
. Vamos primeiro encontrar os pontos de interseção para depois montar as integrais.
Passo 2
Para achar onde a reta e a parábola se cruzam, substituímos
em
:
Resolvendo
vem
Os pontos de interseção são, então,
Passo 3
Integração em relação a
.
Em cada , o
varia da parábola
Em cada
até a reta
Logo,
Passo 4
Cálculo da integral em
:
Avalia-se de
a
:
Passo 5
Integração em relação a
.
A projeção da região no eixo vai de
(vértice da parábola) até
. Para cada
há duas fases:
A projeção da região no eixo
- Se
, a reta fica abaixo da rama inferior da parábola . Então o varia de
- Se
, a reta está entre as duas ramas. Então o varia de
Assim
Passo 6
Cálculo das duas integrais em
:
a) Para
:
b) Para
:
Primeiro termo, com
:
avaliando de
a
:
Segundo termo:
Logo essa parte dá
Somando (a) e (b):
Resposta
A área da região é
.