Exercício 1:

Encontre a área delimitada pela reta y=x-5 e pela parábola y^{2}=2 x-2, integrando em relação a x e em relação a y.

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pela reta
y = x - 5
e pela parábola
y^2 = 2x - 2.
O conteúdo é cálculo de área por integração dupla unidimensional (usando integrais simples), tanto integrando em y quanto em x. Vamos primeiro encontrar os pontos de interseção para depois montar as integrais.

Passo 2

Para achar onde a reta e a parábola se cruzam, substituímos x = y + 5 em y^2 = 2x - 2:
y^2 = 2(y+5) - 2 \;\Longrightarrow\; y^2 = 2y +10 -2 \;\Longrightarrow\; y^2 -2y -8 = 0.
Resolvendo
y = \frac{2 \pm \sqrt{4 +32}}{2} = \frac{2\pm6}{2},
vem
y = 4 \quad\text{ou}\quad y = -2.
Os pontos de interseção são, então,
(y,x) = (-2,\,3) \quad\text{e}\quad (4,\,9).

Passo 3

Integração em relação a y.
Em cada y\in[-2,4], o x varia da parábola
x = \tfrac12\,y^2 + 1
até a reta
x = y + 5.
Logo,
A \;=\; \int_{y=-2}^{4}\Bigl[(y+5)-\bigl(\tfrac12y^2+1\bigr)\Bigr]\,dy \;=\; \int_{-2}^{4}\bigl(-\tfrac12y^2 + y + 4\bigr)\,dy.

Passo 4

Cálculo da integral em y:
\int\bigl(-\tfrac12y^2 + y +4\bigr)\,dy = -\tfrac12\cdot\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} +4y = -\frac{y^3}{6} + \frac{y^2}{2} +4y.
Avalia-se de -2 a 4:
\Bigl[-\tfrac{y^3}{6} + \tfrac{y^2}{2} +4y\Bigr]_{-2}^{4} = \Bigl(-\tfrac{64}{6} +8 +16\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{-8}{6} +2 -8\Bigr) = \frac{40}{3} - \bigl(-\tfrac{14}{3}\bigr) = \frac{54}{3} = 18.

Passo 5

Integração em relação a x.
A projeção da região no eixo x vai de x_{\min}=1 (vértice da parábola) até x_{\max}=9. Para cada x há duas fases:
  1. Se 1\le x\le3, a reta y=x-5 fica abaixo da rama inferior da parábola y=-\sqrt{2x-2}. Então o y varia de
y_{\min} = -\sqrt{2x-2} \quad\text{até}\quad y_{\max} = +\sqrt{2x-2}.é
  1. Se 3\le x\le9, a reta está entre as duas ramas. Então o y varia de
y_{\min} = x-5 \quad\text{até}\quad y_{\max} = +\sqrt{2x-2}.é
Assim
A = \int_{1}^{3}\bigl[\sqrt{2x-2}-(-\sqrt{2x-2})\bigr]\,dx + \int_{3}^{9}\bigl[\sqrt{2x-2} - (x-5)\bigr]\,dx.

Passo 6

Cálculo das duas integrais em x:
a) Para 1\le x\le3:
\int_{1}^{3}2\sqrt{2x-2}\,dx = 2\int_{u=0}^{4}\sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \int_{0}^{4}u^{1/2}\,du = \Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{0}^{4} = \frac{2}{3}\cdot8 = \frac{16}{3}.
b) Para 3\le x\le9:
\int_{3}^{9}\sqrt{2x-2}\,dx \;-\; \int_{3}^{9}(x-5)\,dx.
Primeiro termo, com u=2x-2:
\int\sqrt{2x-2}\,dx = \frac{1}{3}(2x-2)^{3/2},
avaliando de x=3 a 9:
\frac{1}{3}\bigl(16^{3/2}-4^{3/2}\bigr) = \frac{1}{3}(64-8) = \frac{56}{3}.
Segundo termo:
\int_{3}^{9}(x-5)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^2}{2}-5x\Bigr]_{3}^{9} = 6.
Logo essa parte dá
\frac{56}{3} - 6 = \frac{56-18}{3} = \frac{38}{3}.
Somando (a) e (b):
A = \frac{16}{3} + \frac{38}{3} = \frac{54}{3} = 18.

Resposta

A área da região é 18.

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