Determine, algebricamente, o domínio das funções a seguir.
f(x)=\frac{2 x}{3 x^{2}-4 x}+\frac{x+1}{(1+x)(5-x)}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{2x}{3x^{2}-4x}+\frac{x+1}{(1+x)(5-x)}.
Como se trata de soma de frações, o domínio é o conjunto dos x\in\mathbb{R} que não anulam nenhum dos denominadores.

Passo 2

Vamos fatorar cada denominador. No primeiro temos
3x^{2}-4x = x\,(3x-4).

Passo 3

No segundo denominador já está em forma fatorada:
(1+x)(5-x).

Passo 4

Para que nenhum denominador seja zero, exigimos
x\neq 0,\quad 3x-4\neq 0,\quad 1+x\neq 0,\quad 5-x\neq 0.
Isto é,
x\neq 0,\quad x\neq \frac{4}{3},\quad x\neq -1,\quad x\neq 5.

Passo 5

Portanto, o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\Bigl\{-1,\,0,\,\tfrac{4}{3},\,5\Bigr\},
ou em forma de intervalos:
(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,0)\,\cup\,(0,\tfrac{4}{3})\,\cup\,(\tfrac{4}{3},5)\,\cup\,(5,\infty).

Resposta

O domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1,0,4/3,5\}.

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