Exercício 2:

Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y=x^{2}, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=2 for rotacionada em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região limitada por y = x^2, o eixo x e as retas x=1 e x=2. O conteúdo utilizado será o método dos discos, que exige expressar o raio do disco em função de x e montar uma integral definida.

Passo 2

Para cada valor de x no intervalo [1,2], a seção transversal perpendicular ao eixo x é um disco de raio igual à ordenada da curva, ou seja,
R(x)=y=x^2.

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é dado por
V = \int_{x=1}^{x=2} \pi \bigl[R(x)\bigr]^{2}\,dx = \pi \int_{1}^{2} \bigl(x^2\bigr)^{2}\,dx = \pi \int_{1}^{2} x^{4}\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Portanto,
\int_{1}^{2} x^{4}\,dx = \left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \pi, obtemos
V = \pi \cdot \frac{31}{5} = \frac{31\pi}{5}.

Resposta

O volume do sólido de revolução é \displaystyle \frac{31\pi}{5}.

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