Exercício 1. Encontre os autovalores e autovetores de T \in \mathcal{L}(V) nos seguintes casos: V=\mathbb{R}^{3}, T(1,0,0)=(2,0,0), T(0,1,0)=(2,1,2) e T(0,0,1)=(3,2,1).
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores de uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que está dada em relação à base canônica por
O conteúdo é autovalores e autovetores: vamos montar a matriz de T na base canônica, achar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e resolver para \lambda, depois resolver (A-\lambda I)x=0 em cada caso.
Passo 2
A matriz de T na base canônica é obtida tomando as imagens como colunas:
As equações dão 2y+3z=0, -y+2z=0, 2y-z=0. Dessas, -y+2z=0\implies y=2z e 2y-z=0\implies z=0, então y=0. A componente x é livre. Logo o espaço próprio é gerado por (1,0,0).
Da segunda linha 2y+2z=0\implies z=-y. A primeira linha dá 3x+2y+3z=0\implies3x+2y-3y=0\implies3x=y. Escolhendo y=3t, obtemos x=t, z=-3t. Um gerador é (1,3,-3).
Resposta
Os autovalores e respectivos autovetores (geradores dos espaços próprios) são: \displaystyle \lambda=2 com autovetores proporcionais a (1,0,0); \displaystyle \lambda=3 com autovetores proporcionais a (5,1,1); \displaystyle \lambda=-1 com autovetores proporcionais a (1,3,-3).