Exercício 1. Encontre os autovalores e autovetores de T \in \mathcal{L}(V) nos seguintes casos:
V=\mathbb{R}^{3}, T(1,0,0)=(2,0,0), T(0,1,0)=(2,1,2) e T(0,0,1)=(3,2,1).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que está dada em relação à base canônica por
T(1,0,0)=(2,0,0),\quad T(0,1,0)=(2,1,2),\quad T(0,0,1)=(3,2,1).
O conteúdo é autovalores e autovetores: vamos montar a matriz de T na base canônica, achar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e resolver para \lambda, depois resolver (A-\lambda I)x=0 em cada caso.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é obtida tomando as imagens como colunas:
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Por definição, os autovalores \lambda satisfazem \det(A-\lambda I)=0.

Passo 3

Calculemos o determinante
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\\ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\\ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2-4 =\lambda^2-2\lambda-3 =(\lambda-3)(\lambda+1).
Portanto
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(\lambda-3)(\lambda+1),
e os autovalores são \lambda=2,\;3,\;-1.

Passo 4

Para \lambda=2, resolvemos
(A-2I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
As equações dão
2y+3z=0, -y+2z=0, 2y-z=0. Dessas, -y+2z=0\implies y=2z e 2y-z=0\implies z=0, então y=0. A componente x é livre. Logo o espaço próprio é gerado por (1,0,0).

Passo 5

Para \lambda=3,
(A-3I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da segunda linha -2y+2z=0\implies z=y. A primeira linha dá -x+2y+3z=0\implies x=2y+3y=5y. Assim um gerador é (5,1,1).

Passo 6

Para \lambda=-1,
(A+I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da segunda linha 2y+2z=0\implies z=-y. A primeira linha dá 3x+2y+3z=0\implies3x+2y-3y=0\implies3x=y. Escolhendo y=3t, obtemos x=t, z=-3t. Um gerador é (1,3,-3).

Resposta

Os autovalores e respectivos autovetores (geradores dos espaços próprios) são:
\displaystyle \lambda=2 com autovetores proporcionais a (1,0,0);
\displaystyle \lambda=3 com autovetores proporcionais a (5,1,1);
\displaystyle \lambda=-1 com autovetores proporcionais a (1,3,-3).

Exercícios relacionados