Exercício 3. Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dado por
T(x, y)=(-y, x), \quad \text { para } \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} .
Mostre que operador linear T não admite autovetores (isto é, autovetores no espaço vetorial real \left(\mathbb{R}^{2},+, \cdot\right) ).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(-y,x).
Queremos mostrar que não existe vetor não-nulo (x,y)\in\mathbb{R}^2 e escalar real \lambda tais que
T(x,y)=\lambda\,(x,y).
Em outras palavras, não há autovetores reais.

Passo 2

Escrevendo a condição T(x,y)=\lambda(x,y) em componentes, temos
(-y,x)=(\lambda x,\lambda y).
Isto gera o sistema de equações lineares
\begin{cases} -y = \lambda x,\\\ x = \lambda y. \end{cases}

Passo 3

Deste sistema, da segunda equação vem
x = \lambda y.
Substituindo na primeira,
-y = \lambda x = \lambda(\lambda y)=\lambda^2\,y,
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-y = \lambda^2 y \quad\Longrightarrow\quad (-1 - \lambda^2)\,y = 0.

Passo 4

Para obter um autovetor não-nulo precisamos de (x,y)\neq(0,0). Duas possibilidades:
  1. Se y=0, então pela segunda equação x=\lambda y=0, o que leva ao vetor trivial (0,0).
  2. Se y\neq 0, então -1-\lambda^2=0, ou seja \lambda^2=-1, que não tem solução em \mathbb{R}.
Em ambas as hipóteses não conseguimos um vetor não-nulo em \mathbb{R}^2.

Resposta

O operador T não admite autovetores não-nulos em \mathbb{R}^2.

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