Exercício 3. Considere o operador linear
, dado por
Mostre que operador linear
não admite autovetores (isto é, autovetores no espaço vetorial real
).
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
Queremos mostrar que não existe vetor não-nulo
e escalar real
tais que
Em outras palavras, não há autovetores reais.
Passo 2
Escrevendo a condição
em componentes, temos
Isto gera o sistema de equações lineares
Passo 3
Deste sistema, da segunda equação vem
Substituindo na primeira,
logo
Passo 4
Para obter um autovetor não-nulo precisamos de
. Duas possibilidades:
- Se
, então pela segunda equação , o que leva ao vetor trivial . - Se
, então , ou seja , que não tem solução em .
Em ambas as hipóteses não conseguimos um vetor não-nulo em
.
Resposta
O operador
não admite autovetores não-nulos em
.