Exercício 1. Encontre os autovalores e autovetores de T \in \mathcal{L}(V) nos seguintes casos:
V=\mathbb{R}^{2} e T(x, y)=(-x,-y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(-x,-y).
O conteúdo necessário é o conceito de autovalor \lambda e autovetor v\neq0 tais que T(v)=\lambda v. Vamos usar representação matricial e resolver o polinômio característico.

Passo 2

Escolhendo a base canônica de \mathbb{R}^2, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0\\\ 0 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)^2.

Passo 3

Para achar os autovalores, igualamos o polinômio a zero:
(-1-\lambda)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-1.
Logo, \lambda=-1 é o único autovalor, com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Agora encontramos o espaço próprio associado a \lambda=-1. Resolvemos
(A - (-1)I)v = (A+I)v = 0.
Mas
A+I =\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
logo qualquer vetor v=(x,y) satisfaz (A+I)v=0. Isso significa que o espaço próprio é todo \mathbb{R}^2 (exceto o vetor nulo).

Resposta

O único autovalor de T é
\lambda=-1,
e todo vetor não nulo (x,y)\in\mathbb{R}^2 é autovetor correspondente.

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