Exercício 1.9.4. Encontre os componentes do vetor \overrightarrow{P_{1} P_{2}}.
(b) P_{1}(5,-2,1) e P_{2}(2,4,2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os componentes do vetor \overrightarrow{P_{1}P_{2}}.
Dados fornecidos: P_{1}(5,-2,1) e P_{2}(2,4,2).

Passo 2

Fórmula essencial (expliquei como usar): para dois pontos P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) e P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}), os componentes do vetor que vai de P_{1} a P_{2} são dados por
\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1},\;z_{2}-z_{1}).
Intuição rápida: cada componente é quanto você precisa andar na direção x,y,z para ir de P_{1} até P_{2}.

Passo 3

Calcule a componente x:
x\text{-componente}=x_{2}-x_{1}=2-5=-3.
Explicação: subtrai-se a coordenada x de P_{1} da coordenada x de P_{2}; aqui isso dá -3, ou seja, você anda 3 unidades no sentido negativo de x.

Passo 4

Calcule a componente y:
y\text{-componente}=y_{2}-y_{1}=4-(-2)=4+2=6.
Observação: cuidado com o sinal negativo em y_{1}; subtrair -2 equivale a somar 2.

Passo 5

Calcule a componente z:
z\text{-componente}=z_{2}-z_{1}=2-1=1.

Passo 6

Juntando as componentes, obtemos
\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(-3,\,6,\,1).
Verificação rápida (boa prática): P_{1}+\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(5,-2,1)+(-3,6,1)=(2,4,2)=P_{2}. Isso confirma que o vetor está correto.

Resposta

(-3,6,1)

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