Exercício 1.2 Sabendo que lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0, use o o Teorema 1.2 para calcular lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+a_{n}\right)}{a_{n}}
Passo 1
O enunciado dá que \lim_{n\to+\infty} a_{n}=0 e pede para calcular
Sabemos que a sequência (a_{n}) converge para \,0.
A expressão cujo limite nos interessa é a sequência obtida aplicando a função x\mapsto \dfrac{\ln(1+x)}{x} aos termos a_{n}.
Passo 2
Vou usar o Teorema 1.2 na sua forma usual (teorema da continuidade por sequências): se [f) é contínua em c e \lim_{n\to\infty} x_n = c, então \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f\text{(c)}.
Para aplicar esse teorema precisamos mostrar que a função
é contínua em x=0\]. Para provar continuidade em \(0 é suficiente mostrar que
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}
existe e é igual a 1.]
Passo 3
Vamos calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}. Note que quando x\to 0 temos \ln(1+x)\to 0 e x\to 0, então a forma é \dfrac{0}{0}. Podemos aplicar o Teorema de l’Hôpital (vamos explicar por que pode ser aplicado): as funções f(x)=\ln(1+x) e g(x)=x são diferenciáveis em um intervalo aberto ao redor de 0 (exceto talvez em pontos onde 1+x\le 0, mas consideramos x suficientemente próximo de 0 para que 1+x>0), e g'(x)=1 não se anula perto de 0. Assim, pelas condições do teorema de l’Hôpital,
Comentário didático curto: a ideia é que, infinitesimalmente, \ln(1+x) cresce como x quando x é pequeno; a razão das derivadas no ponto 0 dá essa relação.
Passo 4
Da conta anterior segue que
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1,
ou seja, a função \varphi definida no Passo 2 tem limite 1 quando x\to 0. Como definimos \varphi(0)=1, isso mostra que \varphi é contínua em 0.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema 1.2 (continuidade por sequências): como \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 e \varphi é contínua em 0, temos
\lim_{n\to\infty} \varphi(a_{n}) = \varphi(0).
Mas \varphi(a_{n})=\dfrac{\ln(1+a_{n})}{a_{n}} (para a_n\neq0) e \varphi(0)=1. Portanto