Exercício 5 Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-x-x^{2}}{2 x^{2}-7}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{1 - x - x^2}{2x^2 - 7}
Esse é um caso de limite de função racional no infinito, onde os polinômios do numerador e do denominador têm o mesmo grau 2. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de x, que é x^2.

Passo 2

Dividimos cada termo do numerador e do denominador por x^2. Assim,
\frac{1 - x - x^2}{2x^2 - 7} = \frac{\frac{1}{x^2} \;-\;\frac{x}{x^2}\;-\;1}{2 \;-\;\frac{7}{x^2}} = \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 1}{2 - \frac{7}{x^2}}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de cada fração quando x \to \infty:
\frac{1}{x^2} \to 0, \quad \frac{1}{x} \to 0, \quad \frac{7}{x^2} \to 0.
Logo, o numerador tende a -1 e o denominador tende a 2.

Resposta

\lim_{x \to \infty} \frac{1 - x - x^2}{2x^2 - 7} = \frac{-1}{2} = -\tfrac12.

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