Exercício 5 Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-e^{x}}{1+2 e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{x}}{1+2e^{x}}.
O conteúdo aqui é o comportamento assintótico de funções exponenciais: sabemos que, à medida que x\to\infty, o termo e^{x} cresce muito mais rápido do que constantes.

Passo 2

Para explorar essa dominância, fatoramos e^{x} tanto no numerador quanto no denominador. Escrevemos:
1 - e^{x} \;=\; e^{x}\bigl(e^{-x}-1\bigr), \qquad 1 + 2e^{x} \;=\; e^{x}\bigl(e^{-x}+2\bigr).
Logo,
\frac{1 - e^{x}}{1 + 2e^{x}} =\frac{e^{x}(e^{-x}-1)}{e^{x}(e^{-x}+2)} =\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+2}.

Passo 3

Agora observamos que, quando x\to\infty, temos e^{-x}\to 0. Substituindo na expressão simplificada,
o numerador tende a 0-1=-1 e o denominador tende a 0+2=2. Portanto,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+2} =\frac{-1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados