Exercício 8 Encontre a série de MacLaurin para a função f(x)=\frac{1}{1-x} e verifique o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: encontrar a série de Maclaurin da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x} e verificar o intervalo (ou conjunto) de valores de x em que essa série converge.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}.
Perguntas explícitas:
Qual é a série de Maclaurin (a expansão em torno de 0) de f?
Para quais x essa série converge (intervalo de convergência)?
Passo 2
Uma forma intuitiva e direta: reconhecer a soma geométrica. Vamos lembrar a soma finita de uma progressão geométrica. Se temos números 1,x,x^2,\dots,x^N, a soma parcial é
S_N = 1 + x + x^2 + \cdots + x^N.
Há uma fórmula clássica para essa soma:
S_N = \frac{1-x^{N+1}}{1-x},
válida para \,x\neq 1. Explico rapidamente por que: multiplica-se S_N por (1-x) e faz-se a telescopagem:
(1-x)S_N = (1-x)(1+x+\cdots+x^N)=1-x^{N+1}.
Dividindo por 1-x obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Se |x|<1 então x^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Assim
confirmando o resultado obtido pela soma geométrica.
Passo 5
Agora vamos investigar a convergência (raio e intervalo). Use o teste da razão (motivo: série de potências simples e fácil aplicar). Para os termos a_n x^n com a_n=1 temos
O teste da razão diz que a série converge se o limite dessa razão for menor que 1. Aqui o limite é |x|. Então a condição de convergência é
|x|<1.
Isso significa que o raio de convergência é R=1; a série converge para |x|<1.
Passo 6
Restam os pontos na fronteira |x|=1, ou seja x=1 e x=-1. Testamos separadamente:
Para x=1: a série fica \sum_{n=0}^{\infty}1, cujos termos não tendem a zero, portanto a série diverge (a soma parcial cresce sem limite).
Para x=-1: a série fica \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n, ou seja 1-1+1-1+\cdots. As somas parciais são 1,0,1,0,\dots e não têm limite; logo a série não converge no sentido usual. (Obs.: existe um método de atribuir soma por métodos especiais, mas não é convergência clássica.)
Portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.
Passo 7
Exemplo numérico rápido pra fixar: escolha x=\tfrac{1}{2}. Pela série:
Soma da geométrica \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=2. Você pode checar calculando somas parciais e vendo que se aproximam de 2. Isso mostra concretamente como usar a série na prova: para um x dentro do intervalo (-1,1) você pode substituir e somar pela fórmula fechada.