Exercício 8 Encontre a série de MacLaurin para a função f(x)=\frac{1}{1-x} e verifique o intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: encontrar a série de Maclaurin da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x} e verificar o intervalo (ou conjunto) de valores de x em que essa série converge.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}.
Perguntas explícitas:
  1. Qual é a série de Maclaurin (a expansão em torno de 0) de f?
  2. Para quais x essa série converge (intervalo de convergência)?

Passo 2

Uma forma intuitiva e direta: reconhecer a soma geométrica. Vamos lembrar a soma finita de uma progressão geométrica. Se temos números 1,x,x^2,\dots,x^N, a soma parcial é
S_N = 1 + x + x^2 + \cdots + x^N.
Há uma fórmula clássica para essa soma:
S_N = \frac{1-x^{N+1}}{1-x},
válida para \,x\neq 1. Explico rapidamente por que: multiplica-se S_N por (1-x) e faz-se a telescopagem:
(1-x)S_N = (1-x)(1+x+\cdots+x^N)=1-x^{N+1}.
Dividindo por 1-x obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Se |x|<1 então x^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Assim
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\frac{1-x^{N+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}.
Isso nos dá a representação da função como soma infinita:
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n,
válida (pela dedução acima) sempre que |x|<1. Note que essa soma é exatamente uma série de potências centrada em 0, ou seja, uma série de Maclaurin.

Passo 4

Agora vamos ligar isso à fórmula de Maclaurin (pra você saber como justificar usando derivadas): a série de Maclaurin de uma função f é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Vamos calcular as derivadas de f(x)=(1-x)^{-1}. Observando os primeiros casos:
f(x)=(1-x)^{-1},\qquad f'(x)=(1-x)^{-2},\qquad f''(x)=2(1-x)^{-3}.
Apostamos numa fórmula geral por indução:
f^{(n)}(x)=n!\,(1-x)^{-n-1}.
Verificação rápida: para n=0 0! (1-x)^{-1}= (1-x)^{-1}, certo. Supondo que vale para n, então derivando:
f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\big(n!\,(1-x)^{-n-1}\big)=n!\,(n+1)(1-x)^{-n-2}=(n+1)!\,(1-x)^{-n-2},
logo a fórmula vale por indução. Avaliando em x=0:
f^{(n)}(0)=n!\,(1-0)^{-n-1}=n!.
Portanto o coeficiente da série de Maclaurin é
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{n!}{n!}=1,
para todo n. Assim a série de Maclaurin é
\sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot x^n=\sum_{n=0}^{\infty} x^n,
confirmando o resultado obtido pela soma geométrica.

Passo 5

Agora vamos investigar a convergência (raio e intervalo). Use o teste da razão (motivo: série de potências simples e fácil aplicar). Para os termos a_n x^n com a_n=1 temos
\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = |x|.
O teste da razão diz que a série converge se o limite dessa razão for menor que 1. Aqui o limite é |x|. Então a condição de convergência é
|x|<1.
Isso significa que o raio de convergência é R=1; a série converge para |x|<1.

Passo 6

Restam os pontos na fronteira |x|=1, ou seja x=1 e x=-1. Testamos separadamente:
  • Para x=1: a série fica \sum_{n=0}^{\infty}1, cujos termos não tendem a zero, portanto a série diverge (a soma parcial cresce sem limite).
  • Para x=-1: a série fica \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n, ou seja 1-1+1-1+\cdots. As somas parciais são 1,0,1,0,\dots e não têm limite; logo a série não converge no sentido usual. (Obs.: existe um método de atribuir soma por métodos especiais, mas não é convergência clássica.)
Portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 7

Exemplo numérico rápido pra fixar: escolha x=\tfrac{1}{2}. Pela série:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \cdots.
Soma da geométrica \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=2. Você pode checar calculando somas parciais e vendo que se aproximam de 2. Isso mostra concretamente como usar a série na prova: para um x dentro do intervalo (-1,1) você pode substituir e somar pela fórmula fechada.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\n (-1,1)

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