Use o teste da raiz para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n^{n}}
converge ou diverge. As informações relevantes são:
\text{termos } a_n=\frac{(-3)^{n}}{n^{n}}\quad\text{para }n=1,2,3,\dots
A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge?

Passo 2

Vou usar o teste da raiz (conforme você pediu). Antes de calcular, vamos entender o que é o teste da raiz e por que ele é adequado aqui.
O teste da raiz diz o seguinte:
\text{sejam }a_n\text{ os termos de uma série. Defina }L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.é
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Por que escolhi o teste da raiz? Porque os termos têm a forma de uma potência à n tanto no numerador quanto no denominador ( (-3)^n e n^n). Para casos com potências na forma x^n ou produtos elevados a n, a raiz enésima simplifica muito bem, tornando o teste da raiz direto e prático.

Passo 3

Primeiro, trabalho com o valor absoluto dos termos, pois o teste da raiz usa |a_n|:
|a_n|=\left|\frac{(-3)^{n}}{n^{n}}\right|=\frac{|(-3)^{n}|}{n^{n}}=\frac{3^{n}}{n^{n}}.
Aqui usei que |(-3)^{n}|=3^{n}.

Passo 4

Agora calculo a raiz enésima de |a_n|:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{3^{n}}{n^{n}}}=\frac{\sqrt[n]{3^{n}}}{\sqrt[n]{n^{n}}}.
Explico essa manipulação: \sqrt[n]{x^n}=x quando x\ge0. Assim \sqrt[n]{3^{n}}=3 e \sqrt[n]{n^{n}}=n. Portanto
\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{3}{n}.

Passo 5

Agora calculo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}.
Como n cresce sem limite, \frac{3}{n}\to 0. Logo
L=0.

Passo 6

Aplicando o teste da raiz: tivemos L=0. Como 0<1, a conclusão do teste é que a série converge absolutamente. Vou explicar rapidamente o que isso significa: convergência absoluta significa que a série
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n^{n}}
converge. A convergência absoluta implica a convergência da série original \sum a_n (mesmo com os sinais alternados ou quaisquer sinais).

Passo 7

Comentário final para fixar: a razão prática aqui é que quando o termo geral tem a forma \left(\frac{\text{constante}}{n}\right)^{n} ou parecida, a raiz enésima costuma dar algo que tende a zero, garantindo convergência absoluta. Exemplo simples parecido: \sum (\tfrac{1}{n})^{n} também converge porque \sqrt[n]{(1/n)^n}=1/n\to0.

Resposta

A série converge absolutamente (portanto converge).

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