A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge?
Passo 2
Vou usar o teste da raiz (conforme você pediu). Antes de calcular, vamos entender o que é o teste da raiz e por que ele é adequado aqui.
O teste da raiz diz o seguinte:
\text{sejam }a_n\text{ os termos de uma série. Defina }L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (portanto converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Por que escolhi o teste da raiz? Porque os termos têm a forma de uma potência à n tanto no numerador quanto no denominador ((-3)^n e n^n). Para casos com potências na forma x^n ou produtos elevados a n, a raiz enésima simplifica muito bem, tornando o teste da raiz direto e prático.
Passo 3
Primeiro, trabalho com o valor absoluto dos termos, pois o teste da raiz usa |a_n|:
Aplicando o teste da raiz: tivemos L=0. Como 0<1, a conclusão do teste é que a série converge absolutamente. Vou explicar rapidamente o que isso significa: convergência absoluta significa que a série
converge. A convergência absoluta implica a convergência da série original \sum a_n (mesmo com os sinais alternados ou quaisquer sinais).
Passo 7
Comentário final para fixar: a razão prática aqui é que quando o termo geral tem a forma \left(\frac{\text{constante}}{n}\right)^{n} ou parecida, a raiz enésima costuma dar algo que tende a zero, garantindo convergência absoluta. Exemplo simples parecido: \sum (\tfrac{1}{n})^{n} também converge porque \sqrt[n]{(1/n)^n}=1/n\to0.
Resposta
A série converge absolutamente (portanto converge).