Exercício 3: Nem tudo o que sobe desce! De fato, pode-se imaginar que um corpo seja lançado com uma velocidade tão grande que acabe escapando da atração gravitacional da Terra. A menor velocidade para a qual isso acontece é dita a velocidade de escape da Terra. Para se ter uma idéia dessa velocidade, denote por
a velocidade inicial, por
a massa e por
a altura do corpo a partir do solo no instante
. Desconsiderando a resistência do ar, o corpo está sujeito apenas à força gravitacional
, em que
é constante,
é a massa e
é o raio da Terra. Usando a segunda lei de Newton
segue-se que
satisfaz às condições
(a) Verifique que
é um fator integrante, isto é, que multiplicando por esse fator pode-se integrar ambos os lados da equação.
Passo 1
O enunciado fornece a equação e as condições iniciais
A pergunta (a) pede para verificar que
é um “fator integrante”, isto é, que, ao multiplicar a equação por
, ela se transforma numa igualdade que pode ser escrita como derivada total em
e, portanto, integrada. Nosso objetivo aqui é mostrar passo a passo essa multiplicação e identificar as derivadas totais que aparecem.
Passo 2
Multiplico ambos os lados da equação por
. Obtemos
Passo 3
Analiso o lado esquerdo. Uso a regra da cadeia para a função
: a derivada em relação a
de
é
Logo
Explicação didática curta: escrever
como metade da derivada de
é um truque padrão baseado na regra da cadeia — isso transforma um produto envolvendo segunda derivada numa derivada total.
Passo 4
Analiso o lado direito. Considerei a função
. Pela regra da cadeia,
Multiplicando por
obtemos
Portanto o lado direito da equação do Passo 2 é exatamente a derivada total
.
Passo 5
Reunindo Passos 3 e 4, a igualdade do Passo 2 fica
Isto mostra que, ao multiplicar por
, ambos os lados se tornam derivadas totais em
. Ou seja,
é um fator que permite escrever a equação como derivada total — exatamente o significado de “fator integrante” pedido.
Passo 6
Agora integro ambos os lados em relação a
. Da igualdade do Passo 5 segue
onde
é constante de integração. Para determinar
uso as condições iniciais
e
. Substituindo
na igualdade acima,
portanto
Passo 7
Escrevo a forma final, dividindo por
se quiser simplificar a expressão:
Ou equivalentemente
Essas formas mostram explicitamente a integral obtida ao usar
como fator integrante (interpretação física: conservação de energia mecânica entre velocidade e potencial gravitacional).