Exercício 3: Nem tudo o que sobe desce! De fato, pode-se imaginar que um corpo seja lançado com uma velocidade tão grande que acabe escapando da atração gravitacional da Terra. A menor velocidade para a qual isso acontece é dita a velocidade de escape da Terra. Para se ter uma idéia dessa velocidade, denote por v_{0} a velocidade inicial, por m a massa e por h(t) a altura do corpo a partir do solo no instante t. Desconsiderando a resistência do ar, o corpo está sujeito apenas à força gravitacional F=-m M G /(R+h(t))^{2}, em que G é constante, M é a massa e R é o raio da Terra. Usando a segunda lei de Newton F=m h^{\prime \prime}(t) segue-se que h(t) satisfaz às condições
m h^{\prime \prime}(t)=-\frac{m M G}{(R+h(t))^{2}}, \quad h(0)=0, h^{\prime}(0)=v_{0}
(a) Verifique que h^{\prime}(t) é um fator integrante, isto é, que multiplicando por esse fator pode-se integrar ambos os lados da equação.

Passo 1

O enunciado fornece a equação e as condições iniciais
m\,h''(t)=-\frac{m M G}{(R+h(t))^{2}},\qquad h(0)=0,\qquad h'(0)=v_{0}.
A pergunta (a) pede para verificar que h'(t) é um “fator integrante”, isto é, que, ao multiplicar a equação por h'(t), ela se transforma numa igualdade que pode ser escrita como derivada total em t e, portanto, integrada. Nosso objetivo aqui é mostrar passo a passo essa multiplicação e identificar as derivadas totais que aparecem.

Passo 2

Multiplico ambos os lados da equação por h'(t). Obtemos
m\,h''(t)\,h'(t)=-\frac{m M G}{(R+h(t))^{2}}\,h'(t).

Passo 3

Analiso o lado esquerdo. Uso a regra da cadeia para a função (h'(t))^{2}: a derivada em relação a t de (h'(t))^{2} é
\frac{d}{dt}\bigl((h'(t))^{2}\bigr)=2\,h'(t)\,h''(t).
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m\,h''(t)\,h'(t)=\frac{m}{2}\,\frac{d}{dt}\bigl((h'(t))^{2}\bigr).
Explicação didática curta: escrever h''(t)h'(t) como metade da derivada de (h')^{2} é um truque padrão baseado na regra da cadeia — isso transforma um produto envolvendo segunda derivada numa derivada total.

Passo 4

Analiso o lado direito. Considerei a função t\mapsto\frac{1}{R+h(t)}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R+h(t)}\right)=-\frac{h'(t)}{(R+h(t))^{2}}.
Multiplicando por m M G obtemos
\frac{d}{dt}\left(\frac{m M G}{R+h(t)}\right)=-\frac{m M G}{(R+h(t))^{2}}\,h'(t).
Portanto o lado direito da equação do Passo 2 é exatamente a derivada total \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{m M G}{R+h(t)}\right).

Passo 5

Reunindo Passos 3 e 4, a igualdade do Passo 2 fica
\frac{m}{2}\,\frac{d}{dt}\bigl((h'(t))^{2}\bigr)=\frac{d}{dt}\left(\frac{m M G}{R+h(t)}\right).
Isto mostra que, ao multiplicar por h'(t), ambos os lados se tornam derivadas totais em t. Ou seja, h'(t) é um fator que permite escrever a equação como derivada total — exatamente o significado de “fator integrante” pedido.

Passo 6

Agora integro ambos os lados em relação a t. Da igualdade do Passo 5 segue
\frac{m}{2}(h'(t))^{2}=\frac{m M G}{R+h(t)}+C,
onde C é constante de integração. Para determinar C uso as condições iniciais h(0)=0 e h'(0)=v_{0}. Substituindo t=0 na igualdade acima,
\frac{m}{2}v_{0}^{2}=\frac{m M G}{R}+C,
portanto
C=\frac{m}{2}v_{0}^{2}-\frac{m M G}{R}.

Passo 7

Escrevo a forma final, dividindo por m se quiser simplificar a expressão:
\frac{1}{2}(h'(t))^{2}=\frac{M G}{R+h(t)}+\frac{1}{2}v_{0}^{2}-\frac{M G}{R}.
Ou equivalentemente
(h'(t))^{2}=v_{0}^{2}+2MG\!\left(\frac{1}{R+h(t)}-\frac{1}{R}\right).
Essas formas mostram explicitamente a integral obtida ao usar h'(t) como fator integrante (interpretação física: conservação de energia mecânica entre velocidade e potencial gravitacional).

Resposta

\frac{m}{2}(h'(t))^{2}=\frac{m M G}{R+h(t)}+C,\quad C=\frac{m}{2}v_{0}^{2}-\frac{m M G}{R}.
\text{Equivalente:}\quad (h'(t))^{2}=v_{0}^{2}+2MG\!\left(\frac{1}{R+h(t)}-\frac{1}{R}\right).

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