Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo ( a>0 denota uma constante real positive, enquanto t é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias.
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2 a}, & |t|<a \\\\ 0, & |t|>a\end{array}\right..\

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier da função f(t)\) definida por \[f(t)=\begin{cases}\dfrac{1}{2a}, & |t|<a,\\[6pt] 0, & |t|>a,\end{cases}
onde a>0\] e \(t\in\mathbb{R}. Informação útil dada no enunciado:
  • A função é uma “janela retangular” centrada em 0 com altura \dfrac{1}{2a} e suporte no intervalo (-a,a).
  • Quer-se a transformada de Fourier (a função resultante em termos da frequência, que vou chamar de \omega) válida para todos os \omega\in\mathbb{R}. É importante também tratar o caso \omega=0 (limite) separadamente, se necessário.]

Passo 2

Vou adotar a convenção padrão (muito usada) para a transformada de Fourier de uma função f(t):
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Explicando as partes dessa fórmula:
  • \mathcal{F}\{f\}(\omega) é a transformada de f avaliada na frequência angular \omega.
  • \int_{-\infty}^{\infty} significa integrar sobre toda a reta real em t.
  • e^{-i\omega t} é a função complexa que “projeta” f nas frequências; i é a unidade imaginária.
    Esta definição transforma uma função do tempo t numa função da frequência \omega.

Passo 3

Como f(t) é zero fora de (-a,a), a integral reduz-se ao intervalo [-a,a]. Portanto
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-a}^{a}\frac{1}{2a}\,e^{-i\omega t}\,dt.
Fatorando a constante \dfrac{1}{2a}:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} e^{-i\omega t}\,dt.

Passo 4

Calcule a integral da exponencial complexa. A primitiva de e^{-i\omega t} em t é \dfrac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} (para \omega\neq 0). Assim, para \omega\neq 0:
\int_{-a}^{a} e^{-i\omega t}\,dt=\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{t=-a}^{t=a} =\frac{e^{-i\omega a}-e^{i\omega a}}{-i\omega}.
Simplificando usando a identidade e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta, reorganizamos:
\frac{e^{-i\omega a}-e^{i\omega a}}{-i\omega}=\frac{e^{i\omega a}-e^{-i\omega a}}{i\omega} =\frac{2i\sin(\omega a)}{i\omega}=\frac{2\sin(\omega a)}{\omega}.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \mathcal{F}\{f\}(\omega):
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\frac{1}{2a}\cdot\frac{2\sin(\omega a)}{\omega}=\frac{\sin(\omega a)}{a\omega}, \qquad \text{para } \omega\neq 0.
Essa é a forma principal da transformada. Observação prática: muitas vezes se escreve em termos da função sinc. Usando a definição clássica \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}, tem-se
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\operatorname{sinc}(\omega a)\cdot\frac{1}{a}.
(Atenção: há convenções diferentes para sinc; aqui \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}.)

Passo 6

Tratar o caso \omega=0. A expressão \dfrac{\sin(\omega a)}{a\omega} é indeterminada em \omega=0 (forma 0/0), então calcule o limite:
\lim_{\omega\to 0}\frac{\sin(\omega a)}{a\omega}.
Usando a expansão em série ou regra de L’Hôpital, nota-se que \sin(\omega a)\sim \omega a quando \omega\to 0. Portanto o limite é
\lim_{\omega\to 0}\frac{\sin(\omega a)}{a\omega}=1.
Isso também faz sentido físico: a transformada em \omega=0 é a integral de f(t) sobre t, e a área de f é \dfrac{1}{2a}\cdot 2a=1.

Passo 7

Propriedades úteis (curtas e práticas para prova):
  • \mathcal{F}\{f\}(\omega) é uma função real e par (isto é, \mathcal{F}\{f\}(-\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega)) porque f(t) é real e par.
  • Para grandes |\omega|, \mathcal{F}\{f\}(\omega) decai como 1/|\omega| (com os zeros em \omega a = n\pi, n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}).

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\dfrac{\sin(\omega a)}{a\omega} para \omega\neq 0.
\mathcal{F}\{f\}(0)=1.

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