Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo ( a>0 denota uma constante real positive, enquanto t é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias. f(t)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2 a}, & |t|<a \\\\ 0, & |t|>a\end{array}\right..\
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier da função f(t)\) definida por
\[f(t)=\begin{cases}\dfrac{1}{2a}, & |t|<a,\\[6pt] 0, & |t|>a,\end{cases}
onde a>0\] e \(t\in\mathbb{R}. Informação útil dada no enunciado:
A função é uma “janela retangular” centrada em 0 com altura \dfrac{1}{2a} e suporte no intervalo (-a,a).
Quer-se a transformada de Fourier (a função resultante em termos da frequência, que vou chamar de \omega) válida para todos os \omega\in\mathbb{R}. É importante também tratar o caso \omega=0 (limite) separadamente, se necessário.]
Passo 2
Vou adotar a convenção padrão (muito usada) para a transformada de Fourier de uma função f(t):
\mathcal{F}\{f\}(\omega) é a transformada de f avaliada na frequência angular \omega.
\int_{-\infty}^{\infty} significa integrar sobre toda a reta real em t.
e^{-i\omega t} é a função complexa que “projeta” f nas frequências; i é a unidade imaginária.
Esta definição transforma uma função do tempo t numa função da frequência \omega.
Passo 3
Como f(t) é zero fora de (-a,a), a integral reduz-se ao intervalo [-a,a]. Portanto
Calcule a integral da exponencial complexa. A primitiva de e^{-i\omega t} em t é \dfrac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} (para \omega\neq 0). Assim, para \omega\neq 0:
Essa é a forma principal da transformada. Observação prática: muitas vezes se escreve em termos da função sinc. Usando a definição clássica \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}, tem-se