Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo (
denota uma constante real positive, enquanto
é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias.
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier da função
, onde
e
é variável real.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
com . - Deve-se calcular a transformada de Fourier (não foi dada convenção explícita).
O que será entregue: a expressão explícita da transformada de Fourier de
em função da frequência (vou usar
como variável de frequência).
Passo 2
Vou escolher a convenção usual sem fatores de normalização (muito usada em cursos de análise de sinais e em várias provas):
Essa escolha é necessária porque existem várias convenções com fatores
ou
; se sua prova usar outra convenção, basta ajustar dividindo/multiplicando por fatores apropriados. A partir de agora, cálculo a transformada
Passo 3
Juntamos os expoentes para obter uma única expressão exponencial:
Fazemos completar o quadrado dentro do parêntese. Note que
Portanto o expoente inteiro fica
Calculando a constante extra:
Assim
Substituindo na integral:
Passo 4
Fazemos a mudança de variável de integração para deslocar o quadrado:
A integral torna-se
Aqui a integração está ao longo de uma reta paralela ao eixo real, deslocada por
no plano complexo. Como a função
é inteira (analítica em todo o plano) e decai rapidamente nas direções relevantes quando
, pode-se deslocar o caminho de integração de volta para a reta real sem alterar o valor da integral (princípio de deformação de caminho / teorema de Cauchy). Assim
Portanto
Passo 5
Agora precisamos do valor da integral gaussiana básica
Vou deduzir
passo a passo (essa é uma fórmula padrão muito usada).
Defina
. Então
Passando para coordenadas polares
com
, o Jacobiano é
, então
Integramos em
: faça a substituição
, então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Logo
Como
, obtemos
Passo 6
Voltando à transformada, substituímos
:
Portanto a transformada de Fourier da gaussiana
é uma gaussiana em
, com largura inversamente proporcional a
.
Passo 7
Observação útil para a prova (resumo curto, para fixar): a transformada de uma gaussiana é outra gaussiana. Se
aumenta (função mais “apertada” em
), a transformada fica mais larga em
— isso é a ideia da relação tempo-frequência.