Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo ( a>0 denota uma constante real positive, enquanto t é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias.
f(t)=e^{-a t^{2}};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier da função f(t)=e^{-a t^{2}}, onde a>0 e t é variável real.
Informações dadas:
  • f(t)=e^{-a t^{2}} com a>0.
  • Deve-se calcular a transformada de Fourier (não foi dada convenção explícita).
O que será entregue: a expressão explícita da transformada de Fourier de f(t) em função da frequência (vou usar \omega como variável de frequência).

Passo 2

Vou escolher a convenção usual sem fatores de normalização (muito usada em cursos de análise de sinais e em várias provas):
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Essa escolha é necessária porque existem várias convenções com fatores 2\pi ou 1/\sqrt{2\pi}; se sua prova usar outra convenção, basta ajustar dividindo/multiplicando por fatores apropriados. A partir de agora, cálculo a transformada
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a t^{2}} e^{-i\omega t}\,dt.

Passo 3

Juntamos os expoentes para obter uma única expressão exponencial:
-e^{\text{(expo)}}:\quad -a t^{2}-i\omega t = -a\!\left(t^{2}+\frac{i\omega}{a}t\right).
Fazemos completar o quadrado dentro do parêntese. Note que
t^{2}+\frac{i\omega}{a}t = \left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2} - \left(\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}.
Portanto o expoente inteiro fica
-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2} + a\left(\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}.
Calculando a constante extra:
a\left(\frac{i\omega}{2a}\right)^{2} = a\cdot\left(-\frac{\omega^{2}}{4a^{2}}\right) = -\frac{\omega^{2}}{4a}.
Assim
-a t^{2}-i\omega t = -a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2} -\frac{\omega^{2}}{4a}.
Substituindo na integral:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}}\, e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}\,dt = e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}}\,dt.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável de integração para deslocar o quadrado:
u = t+\frac{i\omega}{2a}\quad\Longrightarrow\quad dt = du.
A integral torna-se
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}}\,dt = \int_{-\infty+\frac{i\omega}{2a}}^{\infty+\frac{i\omega}{2a}} e^{-a u^{2}}\,du.
Aqui a integração está ao longo de uma reta paralela ao eixo real, deslocada por i\omega/(2a) no plano complexo. Como a função e^{-a u^{2}} é inteira (analítica em todo o plano) e decai rapidamente nas direções relevantes quando a>0, pode-se deslocar o caminho de integração de volta para a reta real sem alterar o valor da integral (princípio de deformação de caminho / teorema de Cauchy). Assim
\int_{-\infty+\frac{i\omega}{2a}}^{\infty+\frac{i\omega}{2a}} e^{-a u^{2}}\,du = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a u^{2}}\,du.
Portanto
F(\omega)= e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a u^{2}}\,du.

Passo 5

Agora precisamos do valor da integral gaussiana básica
I(a)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a u^{2}}\,du\quad\text{com }a>0.
Vou deduzir I(a) passo a passo (essa é uma fórmula padrão muito usada).
Defina I(a). Então
I(a)^{2} = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a y^{2}}\,dy\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\!\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.
Passando para coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, o Jacobiano é r, então
I(a)^{2} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\infty} e^{-a r^{2}} r\,dr\,d\theta.
Integramos em r: faça a substituição s=a r^{2}\Rightarrow ds=2a r\,dr, então r\,dr = ds/(2a) e quando r vai de 0 a \infty, s vai de 0 a \infty. Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-a r^{2}} r\,dr = \int_{0}^{\infty} e^{-s}\frac{ds}{2a} = \frac{1}{2a}.
Logo
I(a)^{2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2a}\,d\theta = \frac{2\pi}{2a} = \frac{\pi}{a}.
Como I(a)>0, obtemos
I(a)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.

Passo 6

Voltando à transformada, substituímos I(a):
F(\omega)= e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}\; I(a) = e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}\;\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
Portanto a transformada de Fourier da gaussiana e^{-a t^{2}} é uma gaussiana em \omega, com largura inversamente proporcional a a.

Passo 7

Observação útil para a prova (resumo curto, para fixar): a transformada de uma gaussiana é outra gaussiana. Se a aumenta (função mais “apertada” em t), a transformada fica mais larga em \omega — isso é a ideia da relação tempo-frequência.

Resposta

\mathcal{F}\{e^{-a t^{2}}\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a t^{2}}e^{-i\omega t}\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}.

Exercícios relacionados