Exercício 8. Encontre o valor máximo absoluto (ou máximo global) e o valor mínimo absoluto da função
onde A, B e k são constantes positivas. Justifique a sua resposta.
Sugestões: (1)
, se kx é congruente a um ângulo pertencente ao primeiro quadrante (
, com
e
) ou congruente a um ângulo do terceiro quadrante (
). (2)
se, e somente se,
, onde
. (3)
.
Sugestões: (1)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor máximo absoluto (máximo global) e o valor mínimo absoluto (mínimo global) da função
onde
,
e
são constantes.
Informações dadas e perguntas a responder:
Informações dadas e perguntas a responder:
- Dados:
, , e a expressão . - Pergunta 1: Qual é o valor máximo absoluto (maior valor que
atinge em )? - Pergunta 2: Qual é o valor mínimo absoluto (menor valor que
atinge em )? - É preciso justificar por que esses são, de fato, máximo e mínimo globais e indicar quando eles ocorrem.
Passo 2
Ideia principal (fórmula de soma de seno): é muito útil escrever
como uma única função seno deslocada, porque
varia sempre entre
e
. Vamos buscar
e
tais que
Expandindo o lado direito e comparando coeficientes:
Comparando com
obtemos as igualdades
Essas duas equações determinam
e
. Agora explico com calma como resolver isso.
Passo 3
Cálculo de
e
(passo-a-passo):
- Somando os quadrados das duas igualdades anteriores,
- Como
, segue
Escolhemos
, coerente com
.
- Para
: divida por (coserve que garante divisão segura) e obtenha
Como
e
, tem-se
e, de fato,
Portanto conseguimos escrever
Passo 4
Uso da propriedade do seno para encontrar máximos e mínimos: sabemos que para qualquer
vale
. Multiplicando por
obtemos
Logo
está sempre entre
e
. Assim os candidatos naturais são
Agora preciso justificar que esses limites são realmente atingidos (não apenas cotas). Isso ocorre quando
, que tem solução real, então são valores efetivamente assumidos por
.
Passo 5
Determinar os pontos
onde os extremos ocorrem (uma justificativa detalhada e também compatível com as sugestões do enunciado):
- Máximo (
):
Portanto os
que dão o máximo são
- Mínimo (
):
ou seja
Observação alternativa (conectando com as sugestões do enunciado): derivando
obtemos
e a condição
leva a
. Como
,
e as soluções são
com
. Avaliando
nesses pontos e usando as identidades
e
(essas fórmulas vêm de representar um triângulo retângulo cujas razões são
), obtemos
, concordando com os extremos encontrados acima. As duas abordagens são equivalentes; aqui apenas mostrei a conexão com a sugestão do enunciado.
Passo 6
Resumo intuitivo e motivador: a função é uma combinação linear de
e
. Qualquer combinação assim pode ser reescrita como um único seno deslocado com amplitude
. O seno varia entre
e
, então a combinação varia entre
e
. Os pontos onde o argumento do seno é
(para máximo) ou
(para mínimo), depois de subtrair o deslocamento
, são exatamente os pontos onde o máximo e o mínimo ocorrem. Força aí — essa é uma técnica que cai muito em prova: transformar em
e usar que
está limitado em
.