Exercício 8. Encontre o valor máximo absoluto (ou máximo global) e o valor mínimo absoluto da função
f(x)=A \cdot \operatorname{sen}(k x)+B \cdot \cos (k x),
onde A, B e k são constantes positivas. Justifique a sua resposta.
Sugestões: (1) \operatorname{tg}(\mathrm{kx})>0, se kx é congruente a um ângulo pertencente ao primeiro quadrante ( \mathrm{kx}=\mathrm{x}_{0}+2 \mathrm{~m} \pi, com \mathrm{m} \in \mathbb{Z} e 0<\mathrm{x}_{0}<\pi / 2 ) ou congruente a um ângulo do terceiro quadrante ( \mathrm{kx}=\mathrm{x}_{1}+2 \mathrm{n} \pi, \operatorname{com} \mathrm{n} \in \mathbb{Z} \mathrm{e} \pi<\mathrm{x}_{1}<(3 \pi) / 2 ). (2) \operatorname{tg}(\mathrm{u})=\mathrm{A} / \mathrm{B}>0 se, e somente se, \mathrm{u}= \operatorname{arctg}(\mathrm{A} / \mathrm{B}), onde 0<\mathrm{u}<\pi / 2. (3) \operatorname{tg}\left(\pi+\mathrm{x}_{0}\right)=\operatorname{tg}\left(\mathrm{x}_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo absoluto (máximo global) e o valor mínimo absoluto (mínimo global) da função
f(x)=A\cdot\sin(kx)+B\cdot\cos(kx),
onde A>0, B>0 e k>0 são constantes.
Informações dadas e perguntas a responder:
  • Dados: A>0, B>0, k>0 e a expressão \;f(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx).
  • Pergunta 1: Qual é o valor máximo absoluto (maior valor que f atinge em \mathbb{R})?
  • Pergunta 2: Qual é o valor mínimo absoluto (menor valor que f atinge em \mathbb{R})?
  • É preciso justificar por que esses são, de fato, máximo e mínimo globais e indicar quando eles ocorrem.

Passo 2

Ideia principal (fórmula de soma de seno): é muito útil escrever f como uma única função seno deslocada, porque \sin varia sempre entre -1 e 1. Vamos buscar R>0 e \varphi tais que
f(x)=R\sin(kx+\varphi).
Expandindo o lado direito e comparando coeficientes:
R\sin(kx+\varphi)=R\big(\sin(kx)\cos\varphi+\cos(kx)\sin\varphi\big).
Comparando com A\sin(kx)+B\cos(kx) obtemos as igualdades
R\cos\varphi = A,\qquad R\sin\varphi = B.
Essas duas equações determinam R e \varphi. Agora explico com calma como resolver isso.

Passo 3

Cálculo de R e \varphi (passo-a-passo):
  • Somando os quadrados das duas igualdades anteriores,
R^2\cos^2\varphi + R^2\sin^2\varphi = A^2 + B^2.
  • Como \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1, segue
R^2 = A^2 + B^2 \quad\Longrightarrow\quad R=\sqrt{A^2+B^2}.
Escolhemos R>0, coerente com A,B>0.
  • Para \varphi: divida R\sin\varphi = B por R\cos\varphi = A (coserve que A>0 garante divisão segura) e obtenha
\tan\varphi = \frac{B}{A}.
Como A>0 e B>0, tem-se \varphi\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big) e, de fato,
\varphi = \arctan\!\bigg(\frac{B}{A}\bigg).
Portanto conseguimos escrever
f(x)=\sqrt{A^2+B^2}\;\sin\!\big(kx+\varphi\big), \qquad\text{com }\varphi=\arctan\!\bigg(\frac{B}{A}\bigg).

Passo 4

Uso da propriedade do seno para encontrar máximos e mínimos: sabemos que para qualquer t vale -1\le \sin t\le 1. Multiplicando por R=\sqrt{A^2+B^2}>0 obtemos
-\sqrt{A^2+B^2}\le R\sin(kx+\varphi)\le \sqrt{A^2+B^2}.
Logo f(x) está sempre entre -\sqrt{A^2+B^2} e \sqrt{A^2+B^2}. Assim os candidatos naturais são
\max f = \sqrt{A^2+B^2}, \qquad \min f = -\sqrt{A^2+B^2}.
Agora preciso justificar que esses limites são realmente atingidos (não apenas cotas). Isso ocorre quando \sin(kx+\varphi)=\pm1, que tem solução real, então são valores efetivamente assumidos por f.

Passo 5

Determinar os pontos x onde os extremos ocorrem (uma justificativa detalhada e também compatível com as sugestões do enunciado):
  • Máximo ( \sin=1):
\sin(kx+\varphi)=1 \quad\Longleftrightarrow\quad kx+\varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Portanto os x que dão o máximo são
kx = \frac{\pi}{2}-\varphi + 2\pi n \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{k}\Big(\frac{\pi}{2}-\varphi + 2\pi n\Big),\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Mínimo ( \sin=-1):
\sin(kx+\varphi)=-1 \quad\Longleftrightarrow\quad kx+\varphi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n,
ou seja
kx = \frac{3\pi}{2}-\varphi + 2\pi n \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{k}\Big(\frac{3\pi}{2}-\varphi + 2\pi n\Big),\quad n\in\mathbb{Z}.
Observação alternativa (conectando com as sugestões do enunciado): derivando f obtemos
f'(x)=k\big(A\cos(kx)-B\sin(kx)\big),
e a condição f'(x)=0 leva a \tan(kx)=\dfrac{A}{B}. Como A,B>0, \tan(kx)>0 e as soluções são kx=u+n\pi com u=\arctan\!\big(\tfrac{A}{B}\big)\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big). Avaliando f nesses pontos e usando as identidades \sin u=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} e \cos u=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} (essas fórmulas vêm de representar um triângulo retângulo cujas razões são A:B), obtemos f=\pm\sqrt{A^2+B^2}, concordando com os extremos encontrados acima. As duas abordagens são equivalentes; aqui apenas mostrei a conexão com a sugestão do enunciado.

Passo 6

Resumo intuitivo e motivador: a função é uma combinação linear de \sin e \cos. Qualquer combinação assim pode ser reescrita como um único seno deslocado com amplitude R=\sqrt{A^2+B^2}. O seno varia entre -1 e 1, então a combinação varia entre -R e R. Os pontos onde o argumento do seno é \tfrac{\pi}{2} (para máximo) ou \tfrac{3\pi}{2} (para mínimo), depois de subtrair o deslocamento \varphi, são exatamente os pontos onde o máximo e o mínimo ocorrem. Força aí — essa é uma técnica que cai muito em prova: transformar em R\sin(\cdot+\varphi) e usar que \sin está limitado em [-1,1].

Resposta

\displaystyle \max f(x)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}
\displaystyle \min f(x)=-\sqrt{A^{2}+B^{2}}

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