Exercício 5. Seja
, onde
e
é a inversa da função
, onde
.
(i) Use a Regra da Cadeia para calcular
, a derivada da função
.
(ii) Prove que
. Sugestão: mostre que
.
(i) Use a Regra da Cadeia para calcular
(ii) Prove que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- A função dada é
, onde e é a função inversa de restrita a . - O enunciado faz duas coisas:
(i) pede para calcularusando a Regra da Cadeia;
(ii) pede que se prove a identidadee, com isso, mostre que .
Informações relevantes que temos:
-
. -
é a inversa de . - Conhecimentos que vamos precisar (serão explicados nos próximos passos): a Regra da Cadeia, a derivada de
em função de , e a derivada de .
Passo 2
A Regra da Cadeia e a derivada de
.
- Regra da Cadeia (explicação simples): se uma função
é composta , a derivada é
Isto significa: derivar a função externa
em relação à sua variável interna
, e multiplicar pelo derivado da função interna
.
- Derivada de
(mostrando passo a passo): escrever . Diferenciando em relação a (com ) usando a regra da cadeia:
Agora
. Substituindo:
Reescrevendo
. Logo, sem o
,
Portanto, aplicando a Regra da Cadeia,
Passo 3
Derivada de
por diferenciação implícita.
- Seja
. Então, por definição de inversa, com . - Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Pelo lado esquerdo,
. Pelo lado direito,
. Assim
Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que
, obtemos
Logo,
.
Passo 4
Aplicar a Regra da Cadeia para
.
- Identificando
e , pela Regra da Cadeia e pelo que já mostramos na Passo 2 e 3:
- Note que
porque é a inversa de . Assim
Este é o resultado obtido diretamente pela Regra da Cadeia (a parte (i) do enunciado).
Passo 5
Provar a identidade
.
- Seja
. Então e , o que garante (portanto e podemos usar a raiz positiva). - Interpretar
como razão em um triângulo retângulo: tomar cateto oposto igual a e cateto adjacente igual a . O hipotenusa, pelo Teorema de Pitágoras, vale . - Então
. Tomando o recíproco,
- Substituindo
obtemos
como sugerido no enunciado. Observação sobre sinal: como
, a
é positiva, então a raiz positiva é a correta.
Passo 6
Concluir e simplificar
usando a identidade.
- Temos de Passo 4
- Substituindo
(do Passo 5):
- Simplificando a fração (dividir numerador e denominador por
):
Também poderia-se verificar diferenciando diretamente
:
, cheque consistente.