Exercício 5. Seja f(\mathrm{x})=\operatorname{sec} (\operatorname{arctg}(\mathrm{x})), onde \operatorname{sec} (\mathrm{y})=1 / \cos (\mathrm{y}) e \operatorname{arctg}(\mathrm{x}) é a inversa da função g(u)=\operatorname{tg}(u)=\operatorname{sen}(u) / \cos (u), onde g:(-\pi / 2, \pi / 2) \rightarrow(-\infty,+\infty).
(i) Use a Regra da Cadeia para calcular f^{\prime}(\mathrm{x}), a derivada da função \mathrm{f}(\mathrm{x}).
(ii) Prove que f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}. Sugestão: mostre que \operatorname{sec} (\operatorname{arctg}(\mathrm{x}))=\sqrt{1+x^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • A função dada é f(x)=\operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x)), onde \operatorname{sec}(y)=1/\cos(y) e \operatorname{arctg} é a função inversa de \tan restrita a (-\pi/2,\pi/2).
  • O enunciado faz duas coisas:
    (i) pede para calcular f'(x) usando a Regra da Cadeia;
    (ii) pede que se prove a identidade \operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x))=\sqrt{1+x^{2}} e, com isso, mostre que f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Informações relevantes que temos:
  • \operatorname{sec}(y)=\dfrac{1}{\cos(y)}.
  • \operatorname{arctg}:(-\infty,+\infty)\to(-\pi/2,\pi/2) é a inversa de \tan.
  • Conhecimentos que vamos precisar (serão explicados nos próximos passos): a Regra da Cadeia, a derivada de \operatorname{sec}(u) em função de u, e a derivada de \operatorname{arctg}(x).

Passo 2

A Regra da Cadeia e a derivada de \operatorname{sec}(u).
  • Regra da Cadeia (explicação simples): se uma função F é composta F(x)=H(U(x)), a derivada é
F'(x)=H'(U(x))\cdot U'(x).
Isto significa: derivar a função externa H em relação à sua variável interna u, e multiplicar pelo derivado da função interna U(x).
  • Derivada de \operatorname{sec}(u) (mostrando passo a passo): escrever \operatorname{sec}(u)=(\cos u)^{-1}. Diferenciando em relação a x (com u=u(x)) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(u)=\frac{d}{dx}(\cos u)^{-1} = -1\cdot(\cos u)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(\cos u).
Agora \frac{d}{dx}(\cos u) = -\sin u\cdot u'(x). Substituindo:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(u) = -(\cos u)^{-2}\cdot(-\sin u)\cdot u'(x)=\frac{\sin u}{\cos^{2}u}\,u'(x).
Reescrevendo \dfrac{\sin u}{\cos^{2}u}=\left(\dfrac{\sin u}{\cos u}\right)\left(\dfrac{1}{\cos u}\right)=\tan u\cdot\operatorname{sec} u. Logo, sem o u'(x),
\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
Portanto, aplicando a Regra da Cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(u(x))=\operatorname{sec}(u(x))\tan(u(x))\cdot u'(x).

Passo 3

Derivada de \operatorname{arctg}(x) por diferenciação implícita.
  • Seja y=\operatorname{arctg}(x). Então, por definição de inversa, \tan(y)=x com y\in(-\pi/2,\pi/2).
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\tan(y)=\frac{d}{dx}x.
Pelo lado esquerdo, \frac{d}{dx}\tan(y)=\operatorname{sec}^{2}(y)\cdot \frac{dy}{dx}. Pelo lado direito, \frac{d}{dx}x=1. Assim
\operatorname{sec}^{2}(y)\cdot \frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y) e lembrando que \tan(y)=x, obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(x)=\frac{1}{1+\tan^{2}(y)}=\frac{1}{1+x^{2}}.
Logo, (\operatorname{arctg})'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia para f(x)=\operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x)).
  • Identificando u(x)=\operatorname{arctg}(x) e H(u)=\operatorname{sec}(u), pela Regra da Cadeia e pelo que já mostramos na Passo 2 e 3:
f'(x)=\operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x))\tan(\operatorname{arctg}(x))\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Note que \tan(\operatorname{arctg}(x))=x porque \operatorname{arctg} é a inversa de \tan. Assim
f'(x)=\frac{x\cdot\operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x))}{1+x^{2}}.
Este é o resultado obtido diretamente pela Regra da Cadeia (a parte (i) do enunciado).

Passo 5

Provar a identidade \operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x))=\sqrt{1+x^{2}}.
  • Seja \theta=\operatorname{arctg}(x). Então \tan(\theta)=x e \theta\in(-\pi/2,\pi/2), o que garante \cos\theta>0 (portanto \operatorname{sec}\theta>0 e podemos usar a raiz positiva).
  • Interpretar \tan(\theta)=x como razão em um triângulo retângulo: tomar cateto oposto igual a x e cateto adjacente igual a 1. O hipotenusa, pelo Teorema de Pitágoras, vale \sqrt{1+x^{2}}.
  • Então \cos\theta=\dfrac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}. Tomando o recíproco,
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\sqrt{1+x^{2}}.
  • Substituindo \theta=\operatorname{arctg}(x) obtemos
\operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x))=\sqrt{1+x^{2}},
como sugerido no enunciado. Observação sobre sinal: como \operatorname{arctg}(x)\in(-\pi/2,\pi/2), a \cos é positiva, então a raiz positiva é a correta.

Passo 6

Concluir e simplificar f'(x) usando a identidade.
  • Temos de Passo 4
f'(x)=\frac{x\cdot\operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x))}{1+x^{2}}.
  • Substituindo \operatorname{sec}(\operatorname{arctg}(x))=\sqrt{1+x^{2}} (do Passo 5):
f'(x)=\frac{x\cdot\sqrt{1+x^{2}}}{1+x^{2}}.
  • Simplificando a fração (dividir numerador e denominador por \sqrt{1+x^{2}}):
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Também poderia-se verificar diferenciando diretamente \sqrt{1+x^{2}}: \dfrac{d}{dx}\sqrt{1+x^{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, cheque consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}

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