Exercício 11. Considere a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2} \cdot \ln (\mathrm{x}), com \mathrm{x} \geq 0.
(i) Use a Regra de L’Hôpital para concluir que \lim _{x \rightarrow 0_{(x>0)}} x \cdot \ln (x)=0.
(ii) Defina \mathrm{f}(0) de modo que a função f seja contínua em \mathrm{x}=0.
(iii) Faça o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}), apresentando todos os detalhes referentes ao roteiro completo para a elaboração do esboço de gráfico de funções reais.

Passo 1

Vou deixar bem explícito o que o enunciado pede e quais informações já temos (isso eu peguei do enunciado):
  • A função dada é f(x)=x^{2}\ln(x) com domínio indicado \,x\ge 0.
  • Perguntas do enunciado:
    1. (i) Usar a Regra de L’Hôpital para concluir que \displaystyle\lim_{x\to 0_{(x>0)}} x\ln(x)=0.
    2. (ii) Definir f(0) de modo que f seja contínua em x=0.
    3. (iii) Fazer o gráfico de f(x), apresentando todos os detalhes do roteiro completo para esboçar o gráfico (domínio, zeros, sinais, derivadas, extremos, concavidade, pontos de inflexão, limites, comportamento em 0 e em \infty, etc.).
  • Informação importante que temos: para 0<x<1 vale \ln(x)<0, para x=1 vale \ln(1)=0 e para x>1 vale \ln(x)>0. Isso vai orientar sinais e comportamento.

Passo 2

(i) Mostrar \displaystyle\lim_{x\to 0_{(x>0)}} x\ln(x)=0 usando a Regra de L’Hôpital — aula rápida sobre quando usar e como:
  • Regra de L’Hôpital pode ser aplicada quando o limite de uma razão \dfrac{g(x)}{h(x)} assume forma indeterminada 0/0 ou \pm\infty/\pm\infty. Então podemos considerar \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to a}\frac{g'(x)}{h'(x)} quando as hipóteses se verificam.
  • Colocar x\ln(x) na forma de razão para aplicar L’Hôpital. Escrevemos x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x}.Agora examine os limites de numerador e denominador quando x\to 0^+:
    • \ln(x)\to -\infty,
    • 1/x\to +\infty.
      Portanto a expressão \dfrac{\ln(x)}{1/x} é do tipo -\infty/\infty, ou seja, uma forma indeterminada adequada para L’Hôpital.
  • Aplicando L’Hôpital: derivadas do numerador e do denominador (para x>0):
    • \dfrac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\dfrac{1}{x}.
    • \dfrac{d}{dx}\big(1/x\big)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
      Assim,
    \lim_{x\to 0^+}x\ln(x) =\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x)}{1/x} =\lim_{x\to 0^+}\frac{(1/x)}{(-1/x^{2})}.Simplificando a fração: \frac{1/x}{-1/x^{2}}=\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right)=-x.Portanto \lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=\lim_{x\to 0^+}(-x)=0.
  • Conclusão do item (i): \displaystyle\lim_{x\to 0_{(x>0)}} x\ln(x)=0.

Passo 3

(ii) Definir f(0) para tornar f contínua em x=0 — e por que isso funciona:
  • A continuidade em x=0 exige \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0) (o domínio só envolve x\ge 0, então consideramos a aproximação pela direita).
  • Calcule \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x^{2}\ln(x).
    Uma forma simples de aproveitar o resultado do item (i) é reescrever: x^{2}\ln(x)=x\cdot\big(x\ln(x)\big).Já sabemos por (i) que \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln(x)=0, e \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x=0. Pelo teorema do produto de limites (quando os limites existem e finitos), \lim_{x\to 0^+} x^{2}\ln(x)=\big(\lim_{x\to 0^+} x\big)\cdot\big(\lim_{x\to 0^+} x\ln(x)\big)=0\cdot 0=0.
  • Alternativa (mais prática com L’Hôpital): escrever x^{2}\ln(x)=\dfrac{\ln(x)}{1/x^{2}} e aplicar L’Hôpital; faz a mesma conclusão (levando a -x^{2}/2 que tende a 0).
  • Logo, para tornar f contínua em 0 devemos definir f(0)=0.Assim \lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0)=0 e f é contínua em x=0.

Passo 4

Derivabilidade em 0 (bônus útil para o gráfico) — como verificar e por que é simples aqui:
  • Derivada à direita em 0 dada pela definição: f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h^{2}\ln(h)-0}{h}=\lim_{h\to 0^+}h\ln(h).Pelo item (i) esse limite vale 0. Portanto f é derivável à direita em 0 e f'(0)=0. (Como o domínio começa em 0, isto é suficiente.)
  • Conclusão: tangente horizontal em x=0.

Passo 5

Interceptos, sinais e comportamento próximo a pontos-chave:
  • Intercepto com o eixo y: (0,0) (definido no item (ii)).
  • Zeros: f(0)=0 e f(1)=1^{2}\ln(1)=0. Logo os zeros em x\ge 0 são x=0 e x=1.
  • Sinal de f:
    • Para 0<x<1, \ln(x)<0 e x^{2}>0, logo f(x)<0.
    • Para x>1, \ln(x)>0 então f(x)>0.
  • Comportamento junto a 0^+: f(x)\to 0 vindo de valores negativos (tende a 0^{-}).
  • Comportamento quando x\to +\infty: \ln(x)\to +\infty e x^{2}\to +\infty, então f(x)=x^{2}\ln(x)\to +\infty. Não há assíntotas horizontais nem verticais (sem singularidades internas).

Passo 6

Cálculo da derivada geral, pontos críticos e monotonicidade — passo a passo com explicações:
  • Derivada de f(x)=x^{2}\ln(x) para x>0: usar a regra do produto. f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot\ln(x)+x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln(x)) =2x\ln(x)+x^{2}\cdot\frac{1}{x}.Simplificando: f'(x)=2x\ln(x)+x = x(2\ln(x)+1).
  • Zerar a derivada para achar pontos críticos (além da fronteira x=0): f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 2\ln(x)+1=0.Para x>0 a solução da segunda equação é \ln(x)=-\tfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}\approx 0{,}60653\dots
  • Valor de f nesse ponto crítico: f\big(e^{-1/2}\big)=\big(e^{-1/2}\big)^{2}\ln\big(e^{-1/2}\big) =e^{-1}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-\frac{1}{2e}\approx -0{,}1839.
  • Sinal de f' (usar fator x>0 e analisar 2\ln(x)+1):
    • Se 0<x<e^{-1/2}, então \ln(x)<-1/2 e 2\ln(x)+1<0 f'(x)<0 ⇒ função decrescente.
    • Se x>e^{-1/2}, então 2\ln(x)+1>0 f'(x)>0 ⇒ função crescente.
  • Conclusão: x=e^{-1/2} é um mínimo relativo (e, no domínio x\ge 0, é o mínimo global, pois f\to +\infty quando x\to+\infty e f(0)=0>-1/(2e)).

Passo 7

Concavidade, segunda derivada e ponto de inflexão:
  • Segunda derivada (para x>0): f''(x)=\frac{d}{dx}\big(x(2\ln(x)+1)\big) =(2\ln(x)+1)+x\cdot\frac{2}{x}=2\ln(x)+1+2=2\ln(x)+3.(Expliquei: derivada de x é 1 multiplicando o parêntese mais x vezes derivada de 2\ln(x)+1 que é 2/x.)
  • Ponto de inflexão quando f''(x)=0: 2\ln(x)+3=0\quad\Longrightarrow\quad \ln(x)=-\tfrac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=e^{-3/2}\approx 0{,}22313\dots
  • Valor de f nesse ponto: f\big(e^{-3/2}\big)=\big(e^{-3/2}\big)^{2}\ln\big(e^{-3/2}\big) =e^{-3}\cdot\big(-\tfrac{3}{2}\big)=-\frac{3}{2e^{3}}\approx -0{,}0747.
  • Sinal de f'' (concavidade):
    • Para 0<x<e^{-3/2}, \ln(x)<-3/2 f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo (côncava).
    • Para x>e^{-3/2}, f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima (convexa).
  • Portanto há um ponto de inflexão em x=e^{-3/2} com o valor indicado acima.

Passo 8

Resumo dos limites, assíntotas e comportamento geral (para orientar o esboço do gráfico):
  • \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=0 (já deduzido).
  • \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.
  • Não há assíntotas verticais nem horizontais; o crescimento para +\infty é mais rápido que qualquer potência simples por causa do x^{2} multiplicando \ln(x).
  • Tangente em x=0 é horizontal ( f'(0)=0); tangente no mínimo x=e^{-1/2} também é horizontal ( f'=0 ali).

Passo 9

Roteiro prático e pontos numéricos para desenhar o esboço do gráfico (como desenhar na prova):
  1. Marcar o domínio: x\ge 0.
  2. Pontos obrigatórios:
    • (0,0) — origem.
    • (1,0).
    • Mínimo: \displaystyle\Big(e^{-1/2},-\frac{1}{2e}\Big)\approx(0{,}6065,\,-0{,}1839).
    • Ponto de inflexão: \displaystyle\Big(e^{-3/2},-\frac{3}{2e^{3}}\Big)\approx(0{,}2231,\,-0{,}0747).
  3. Sinais e monotonia:
    • Decrescente em (0,e^{-1/2}), crescente em (e^{-1/2},+\infty).
    • Negativa entre 0 e 1; positiva para x>1.
  4. Concavidade:
    • Côncava para baixo em (0,e^{-3/2}).
    • Ponto de inflexão em x=e^{-3/2}.
    • Côncava para cima em (e^{-3/2},+\infty).
  5. Comportamento nas extremidades:
    • Aproxima-se de 0 pela esquerda (no sentido de valores negativos) quando x\to 0^+, com tangente horizontal.
    • Vai para +\infty quando x\to+\infty.
  6. Desenho: comece em (0,0) ligeiramente para baixo (pois para x pequeno f(x)<0), desça até o mínimo em \approx(0{,}6065,-0{,}184) (curvatura inicial côncava para baixo), passe pelo ponto de inflexão em \approx(0{,}2231,-0{,}075) onde a concavidade muda, depois suba atravessando (1,0) e continue subindo com concavidade para cima para x>e^{-3/2}, subindo até +\infty.
  7. Se quiser marcar tangentes horizontais: em x=0 e em x=e^{-1/2} as tangentes são horizontais.

Passo 10

Pequena verificação numérica para confirmar a intuição (opcional mas útil na prova):
  • e^{-1/2}\approx 0{,}6065,\quad f(e^{-1/2})=-\dfrac{1}{2e}\approx -0{,}1839.
  • e^{-3/2}\approx 0{,}2231,\quad f(e^{-3/2})=-\dfrac{3}{2e^{3}}\approx -0{,}0747.
    Esses pontos são suficientes para um esboço preciso na prova.

Resposta

(i) \;0
(ii) \;f(0)=0
(iii) Resumo para o gráfico:\nDomínio [0,\infty). Zeros em x=0 e x=1. Mínimo global em x=e^{-1/2} com f(e^{-1/2})=-\dfrac{1}{2e} (≈ (0{,}6065,\,-0{,}1839)). Ponto de inflexão em x=e^{-3/2} com f(e^{-3/2})=-\dfrac{3}{2e^{3}} (≈ (0{,}2231,\,-0{,}0747)). Monótona decrescente em (0,e^{-1/2}) e crescente em (e^{-1/2},\infty). Concavidade: côncava para baixo em (0,e^{-3/2}), côncava para cima em (e^{-3/2},\infty). Limites: \lim_{x\to 0^+}f(x)=0, \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty.

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