Exercício 11. Considere a função
, com
.
(i) Use a Regra de L’Hôpital para concluir que
.
(ii) Defina
de modo que a função f seja contínua em
.
(iii) Faça o gráfico de
, apresentando todos os detalhes referentes ao roteiro completo para a elaboração do esboço de gráfico de funções reais.
(i) Use a Regra de L’Hôpital para concluir que
(ii) Defina
(iii) Faça o gráfico de
Passo 1
Vou deixar bem explícito o que o enunciado pede e quais informações já temos (isso eu peguei do enunciado):
- A função dada é
com domínio indicado . - Perguntas do enunciado:
- (i) Usar a Regra de L’Hôpital para concluir que
. - (ii) Definir
de modo que seja contínua em . - (iii) Fazer o gráfico de
, apresentando todos os detalhes do roteiro completo para esboçar o gráfico (domínio, zeros, sinais, derivadas, extremos, concavidade, pontos de inflexão, limites, comportamento em e em , etc.).
- (i) Usar a Regra de L’Hôpital para concluir que
- Informação importante que temos: para
vale , para vale e para vale . Isso vai orientar sinais e comportamento.
Passo 2
(i) Mostrar
usando a Regra de L’Hôpital — aula rápida sobre quando usar e como:
- Regra de L’Hôpital pode ser aplicada quando o limite de uma razão
assume forma indeterminada ou . Então podemos considerar quando as hipóteses se verificam. - Colocar
na forma de razão para aplicar L’Hôpital. Escrevemos Agora examine os limites de numerador e denominador quando : -
, -
.
Portanto a expressãoé do tipo , ou seja, uma forma indeterminada adequada para L’Hôpital.
-
- Aplicando L’Hôpital: derivadas do numerador e do denominador (para
): -
. -
.
Assim,
Simplificando a fração: Portanto -
- Conclusão do item (i):
.
Passo 3
(ii) Definir
para tornar
contínua em
— e por que isso funciona:
- A continuidade em
exige (o domínio só envolve , então consideramos a aproximação pela direita). - Calcule
.
Uma forma simples de aproveitar o resultado do item (i) é reescrever:Já sabemos por (i) que , e . Pelo teorema do produto de limites (quando os limites existem e finitos), - Alternativa (mais prática com L’Hôpital): escrever
e aplicar L’Hôpital; faz a mesma conclusão (levando a que tende a ). - Logo, para tornar
contínua em devemos definir Assim e é contínua em .
Passo 4
Derivabilidade em
(bônus útil para o gráfico) — como verificar e por que é simples aqui:
- Derivada à direita em
dada pela definição: Pelo item (i) esse limite vale . Portanto é derivável à direita em e . (Como o domínio começa em , isto é suficiente.) - Conclusão: tangente horizontal em
.
Passo 5
Interceptos, sinais e comportamento próximo a pontos-chave:
- Intercepto com o eixo
: (definido no item (ii)). - Zeros:
e . Logo os zeros em são e . - Sinal de
: - Para
, e , logo . - Para
, então .
- Para
- Comportamento junto a
: vindo de valores negativos (tende a ). - Comportamento quando
: e , então . Não há assíntotas horizontais nem verticais (sem singularidades internas).
Passo 6
Cálculo da derivada geral, pontos críticos e monotonicidade — passo a passo com explicações:
- Derivada de
para : usar a regra do produto. Simplificando: - Zerar a derivada para achar pontos críticos (além da fronteira
): Para a solução da segunda equação é - Valor de
nesse ponto crítico: - Sinal de
(usar fator e analisar ): - Se
, então e ⇒ ⇒ função decrescente. - Se
, então ⇒ ⇒ função crescente.
- Se
- Conclusão:
é um mínimo relativo (e, no domínio , é o mínimo global, pois quando e ).
Passo 7
Concavidade, segunda derivada e ponto de inflexão:
- Segunda derivada (para
): (Expliquei: derivada de é multiplicando o parêntese mais vezes derivada de que é .) - Ponto de inflexão quando
: - Valor de
nesse ponto: - Sinal de
(concavidade): - Para
, ⇒ ⇒ concavidade para baixo (côncava). - Para
, ⇒ concavidade para cima (convexa).
- Para
- Portanto há um ponto de inflexão em
com o valor indicado acima.
Passo 8
Resumo dos limites, assíntotas e comportamento geral (para orientar o esboço do gráfico):
-
(já deduzido). -
. - Não há assíntotas verticais nem horizontais; o crescimento para
é mais rápido que qualquer potência simples por causa do multiplicando . - Tangente em
é horizontal ( ); tangente no mínimo também é horizontal ( ali).
Passo 9
Roteiro prático e pontos numéricos para desenhar o esboço do gráfico (como desenhar na prova):
- Marcar o domínio:
. - Pontos obrigatórios:
-
— origem. -
. - Mínimo:
. - Ponto de inflexão:
.
-
- Sinais e monotonia:
- Decrescente em
, crescente em . - Negativa entre
e ; positiva para .
- Decrescente em
- Concavidade:
- Côncava para baixo em
. - Ponto de inflexão em
. - Côncava para cima em
.
- Côncava para baixo em
- Comportamento nas extremidades:
- Aproxima-se de
pela esquerda (no sentido de valores negativos) quando , com tangente horizontal. - Vai para
quando .
- Aproxima-se de
- Desenho: comece em
ligeiramente para baixo (pois para pequeno ), desça até o mínimo em (curvatura inicial côncava para baixo), passe pelo ponto de inflexão em onde a concavidade muda, depois suba atravessando e continue subindo com concavidade para cima para , subindo até . - Se quiser marcar tangentes horizontais: em
e em as tangentes são horizontais.
Passo 10
Pequena verificação numérica para confirmar a intuição (opcional mas útil na prova):
-
-
Esses pontos são suficientes para um esboço preciso na prova.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) Resumo para o gráfico:\nDomínio
. Zeros em
e
. Mínimo global em
com
(≈
). Ponto de inflexão em
com
(≈
). Monótona decrescente em
e crescente em
. Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em
. Limites:
,
.