Exercício 3: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
, em cada caso.
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
,
e
em torno do eixo
. Vamos usar o método dos discos (anéis): em cada
fixo, formam-se anéis com raio externo e interno dados pelas curvas que delimitam a região.
Passo 2
Precisamos achar os limites de integração em
. A curva
atinge
quando
Como também temos
, o intervalo de
é de
a
.
Passo 3
Em cada fatia de espessura
, o raio externo do anel vale
(da reta
) e o raio interno vale
(da curva
). Pelo método dos anéis, o volume de uma fatia é
Logo, o volume total é
Passo 4
Separe a integral em duas partes e calcule:
Passo 5
Avalie em
e
: