Exercício 3: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x, em cada caso.
y=e^{x}, x=0 e y=e.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=e^x, x=0 e y=e em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (anéis): em cada x fixo, formam-se anéis com raio externo e interno dados pelas curvas que delimitam a região.

Passo 2

Precisamos achar os limites de integração em x. A curva y=e^x atinge y=e quando
e^x = e \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Como também temos x=0, o intervalo de x é de 0 a 1.

Passo 3

Em cada fatia de espessura dx, o raio externo do anel vale
R = e
(da reta y=e) e o raio interno vale
r = e^x
(da curva y=e^x). Pelo método dos anéis, o volume de uma fatia é
dV = \pi\bigl(R^2 - r^2\bigr)\,dx = \pi\bigl(e^2 - e^{2x}\bigr)\,dx.
Logo, o volume total é
V = \int_{0}^{1} \pi\bigl(e^2 - e^{2x}\bigr)\,dx.

Passo 4

Separe a integral em duas partes e calcule:
V = \pi\Biggl[\int_{0}^{1}e^2\,dx \;-\;\int_{0}^{1}e^{2x}\,dx\Biggr] = \pi\Bigl[e^2 x - \tfrac{e^{2x}}{2}\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Avalie em x=1 e x=0:
V = \pi\Bigl(e^2\cdot1 - \tfrac{e^2}{2} \;-\;(0 - \tfrac{1}{2})\Bigr) = \pi\Bigl(\tfrac{e^2}{2} + \tfrac{1}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{2}\bigl(e^2 + 1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}\bigl(e^2 + 1\bigr)

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