Exercício 5: Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função f é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se f(-x)=f(x) qualquer que seja x \in D(f).)
(ii) \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x
( ) A integral (ii) converge.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx
converge ou diverge. Vamos usar o teste de comparação para comportamentos em x\to\infty.

Passo 2

Para x\ge1 temos
\sqrt{1+\sqrt{x}}\;\ge\;\sqrt{\sqrt{x}}\;=\;x^{1/4},
logo
\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\;\ge\;\frac{x^{1/4}}{x^{1/2}}\;=\;x^{-1/4}.

Passo 3

Sabemos que a integral
\int_{1}^{\infty} x^{-1/4}\,dx
é do tipo \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-p}dx com p=\tfrac14<1, e diverge (pois em geral converge só se p>1).

Passo 4

Como \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ge x^{-1/4} e \int_{1}^{\infty}x^{-1/4}dx diverge, pelo teste de comparação a integral dada também diverge. Portanto a afirmação de que ela converge é falsa.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados