Calcule:
i^4+i^9+i^162-i^5+i^10-i^15

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a expressão i^4+i^9+i^162-i^5+i^10-i^15. Vamos trabalhar com números complexos e usar as propriedades das potências de i para resolver isso.

Passo 2

Sabemos que i é a unidade imaginária, onde i = raiz-1. As potências de i se repetem a cada 4 termos:
  • i^1 = i
  • i^2 = -1
  • i^3 = -i
  • i^4 = 1
  • E assim por diante, repetindo esse ciclo.

Passo 3

Vamos calcular cada potência de i presente na expressão:
  • i^4 = 1
  • i^5 = i^4+1 = i^4 cdot i^1 = 1 cdot i = i
  • i^9 = i^8+1 = i^8 cdot i^1 = (i^4)^2 cdot i = 1^2 cdot i = i
  • i^10 = i^8+2 = i^8 cdot i^2 = 1 cdot (-1) = -1
  • i^15 = i^12+3 = i^12 cdot i^3 = (i^4)^3 cdot (-i) = 1^3 cdot (-i) = -i
  • i^16 = i^16 = (i^4)^4 = 1^4 = 1

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na expressão original:
Numerador:
i^4 + i^9 + i^16 = 1 + i + 1 = 2 + i
Denominador:
2 - i^5 + i^10 - i^15 = 2 - i + (-1) - (-i) = 2 - i - 1 + i = 1

Passo 5

Agora, substituímos os resultados do numerador e denominador na fração:
2 + i1 = 2 + i

Resposta

A expressão simplificada é 2 + i.

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