[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Quais condições precisam ser satisfeitas para que dois vetores sejam iguais?
Quais condições precisam ser satisfeitas para que dois vetores sejam iguais?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais condições precisam ser satisfeitas para que dois vetores sejam iguais?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que precisamos ter claras): temos dois vetores quaisquer (vamos chamá‑los de e
) e precisamos dizer exatamente quando dizemos que eles são iguais. Nada mais foi fornecido, então vamos trabalhar com a definição geométrica e com a representação em componentes.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que precisamos ter claras): temos dois vetores quaisquer (vamos chamá‑los de
Passo 2
Definição geométrica básica de vetor (explicando os termos):\n
- Um vetor é um objeto que tem três características principais: magnitude (ou módulo), direção e sentido.\n
- Magnitude: é o “tamanho” do vetor, escrito
.\n - Direção: a reta (ou linha) ao longo da qual o vetor “aponta” (por exemplo, horizontais, verticais, inclinadas a
, etc.).\n - Sentido: indica qual das duas orientações ao longo daquela direção o vetor tem (por exemplo, para a direita ou para a esquerda ao longo da mesma reta).\n
É importante entender cada um desses termos para ver por que eles aparecem na condição de igualdade.
Passo 3
Condição geométrica intuitiva de igualdade:\n
Do ponto de vista geométrico (vetores livres), dois vetores e
são iguais quando eles coincidem em magnitude, direção e sentido. Em outras palavras:\n
Do ponto de vista geométrico (vetores livres), dois vetores
- têm o mesmo módulo:
,\n - têm a mesma direção (ou são colineares com o mesmo ângulo),\n
- têm o mesmo sentido (não estão apontando em sentidos opostos).\n
Exemplo para fixar:e que apontam ambos para a direita ao longo da mesma reta e têm comprimento são iguais. Se um aponta para a direita e o outro para a esquerda, mesmo que ambos tenham módulo , não são iguais (sentido diferente).
Passo 4
Condição algébrica (componentes) — jeito prático e o que usar na prova:\n
Se representarmos os vetores em uma mesma base (mesmo sistema de eixos), escrevemos, por exemplo,
Se representarmos os vetores em uma mesma base (mesmo sistema de eixos), escrevemos, por exemplo,
Do ponto de vista algébrico,
se e somente se cada componente correspondente for igual, isto é,
Esse critério é o mais usado em provas porque dá uma verificação direta: compare componente por componente.
Passo 5
Forma alternativa e útil: diferença igual a zero:\n
Outra maneira equivalente e muito prática na prova é checar se a diferença entre os vetores é o vetor nulo:
Outra maneira equivalente e muito prática na prova é checar se a diferença entre os vetores é o vetor nulo:
Aqui
é o vetor nulo (todas as componentes zero). Essa forma é frequentemente usada em demonstrações e em exercícios de álgebra vetorial.
Passo 6
Mostrando por que as condições geométrica e algébrica são equivalentes (intuição rápida):\n
- Se
e têm as mesmas componentes em uma base, então eles têm o mesmo módulo (porque e e os somatórios coincidem) e a mesma projeção em cada eixo, logo mesma direção e mesmo sentido. Portanto são iguais geometricamente.\n - Inversamente, se geometricamente têm mesmo módulo, direção e sentido, a projeção em cada eixo coincide, então as componentes coincidem. Portanto as duas descrições são equivalentes.
Passo 7
Casos especiais e dicas práticas para a prova:\n
- Vetor nulo: a direção é ambígua (não tem sentido definido), então a única forma de igualdade envolvendo vetor nulo é que o outro também seja identicamente o vetor nulo (todas as componentes zero).\n
- Dica prática para a prova: sempre que possível, trabalhe com componentes ou com
; é um procedimento algébrico simples e menos sujeito a erros de interpretação geométrica.\n - Atenção: dois vetores com mesmo módulo mas sentidos opostos (por exemplo
e ) NÃO são iguais.
Resposta
Dois vetores
e
são iguais se e somente se têm mesma magnitude, mesma direção e mesmo sentido; equivalentemente, se, representados na mesma base,
temos
para todo
; ou, de forma compacta,
.