[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Quais condições precisam ser satisfeitas para que dois vetores sejam iguais?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais condições precisam ser satisfeitas para que dois vetores sejam iguais?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que precisamos ter claras): temos dois vetores quaisquer (vamos chamá‑los de \vec{u} e \vec{v}) e precisamos dizer exatamente quando dizemos que eles são iguais. Nada mais foi fornecido, então vamos trabalhar com a definição geométrica e com a representação em componentes.

Passo 2

Definição geométrica básica de vetor (explicando os termos):\n
  • Um vetor é um objeto que tem três características principais: magnitude (ou módulo), direção e sentido.\n
  • Magnitude: é o “tamanho” do vetor, escrito \|\vec{u}\|.\n
  • Direção: a reta (ou linha) ao longo da qual o vetor “aponta” (por exemplo, horizontais, verticais, inclinadas a 30^\circ, etc.).\n
  • Sentido: indica qual das duas orientações ao longo daquela direção o vetor tem (por exemplo, para a direita ou para a esquerda ao longo da mesma reta).\n
    É importante entender cada um desses termos para ver por que eles aparecem na condição de igualdade.

Passo 3

Condição geométrica intuitiva de igualdade:\n
Do ponto de vista geométrico (vetores livres), dois vetores \vec{u} e \vec{v} são iguais quando eles coincidem em magnitude, direção e sentido. Em outras palavras:\n
  • têm o mesmo módulo: \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|,\n
  • têm a mesma direção (ou são colineares com o mesmo ângulo),\n
  • têm o mesmo sentido (não estão apontando em sentidos opostos).\n
    Exemplo para fixar: \vec{a} e \vec{b} que apontam ambos para a direita ao longo da mesma reta e têm comprimento 5 são iguais. Se um aponta para a direita e o outro para a esquerda, mesmo que ambos tenham módulo 5, não são iguais (sentido diferente).

Passo 4

Condição algébrica (componentes) — jeito prático e o que usar na prova:\n
Se representarmos os vetores em uma mesma base (mesmo sistema de eixos), escrevemos, por exemplo,
\vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n)
\vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n)
Do ponto de vista algébrico, \vec{u}=\vec{v} se e somente se cada componente correspondente for igual, isto é,
u_i = v_i \quad\text{para todo } i=1,\dots,n.
Esse critério é o mais usado em provas porque dá uma verificação direta: compare componente por componente.

Passo 5

Forma alternativa e útil: diferença igual a zero:\n
Outra maneira equivalente e muito prática na prova é checar se a diferença entre os vetores é o vetor nulo:
\vec{u}=\vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u}-\vec{v}=\vec{0}.
Aqui \vec{0} é o vetor nulo (todas as componentes zero). Essa forma é frequentemente usada em demonstrações e em exercícios de álgebra vetorial.

Passo 6

Mostrando por que as condições geométrica e algébrica são equivalentes (intuição rápida):\n
  • Se \vec{u} e \vec{v} têm as mesmas componentes em uma base, então eles têm o mesmo módulo (porque \|\vec{u}\|^2=\sum u_i^2 e \|\vec{v}\|^2=\sum v_i^2 e os somatórios coincidem) e a mesma projeção em cada eixo, logo mesma direção e mesmo sentido. Portanto são iguais geometricamente.\n
  • Inversamente, se geometricamente têm mesmo módulo, direção e sentido, a projeção em cada eixo coincide, então as componentes coincidem. Portanto as duas descrições são equivalentes.

Passo 7

Casos especiais e dicas práticas para a prova:\n
  • Vetor nulo: a direção é ambígua (não tem sentido definido), então a única forma de igualdade envolvendo vetor nulo é que o outro também seja identicamente o vetor nulo (todas as componentes zero).\n
  • Dica prática para a prova: sempre que possível, trabalhe com componentes ou com \vec{u}-\vec{v}=\vec{0}; é um procedimento algébrico simples e menos sujeito a erros de interpretação geométrica.\n
  • Atenção: dois vetores com mesmo módulo mas sentidos opostos (por exemplo (2,3) e (-2,-3)) NÃO são iguais.

Resposta

Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são iguais se e somente se têm mesma magnitude, mesma direção e mesmo sentido; equivalentemente, se, representados na mesma base,
\vec{u}=(u_1,\dots,u_n),\quad \vec{v}=(v_1,\dots,v_n),
temos u_i=v_i para todo i; ou, de forma compacta, \vec{u}-\vec{v}=\vec{0}.

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