[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Geometricamente, como os vetores são representados?

Passo 1

Enunciado: “Geometricamente, como os vetores são representados?”\n
O que o problema pede: descrever, de forma geométrica e clara, a representação de vetores e os elementos essenciais dessa representação (módulo, direção, sentido, componentes, operações geométricas básicas).\n
Informações dadas: apenas a pergunta; nenhuma figura ou dado numérico adicional foi fornecido.

Passo 2

Definição geométrica básica: um vetor é representado por um segmento de reta orientado — isto é, por uma seta. A seta tem três coisas importantes:
\text{cauda (ou origem)},\quad \text{cabeça (ou extremidade)},\quad \text{e a própria direção/sentido}.çóçã
Usamos a notação \overrightarrow{AB} para o vetor que vai do ponto A (cauda) até o ponto B (cabeça). O vetor \overrightarrow{AB} aponta de A para B.

Passo 3

Módulo (comprimento) do vetor: é o comprimento do segmento orientado, indicado por \|\mathbf{v}\|. Se \mathbf{v} tem componentes (x,y) no plano, a fórmula do módulo vem do Teorema de Pitágoras:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicação didática: imagine um triângulo retângulo formado pelas projeções do vetor nos eixos x e y; os catetos têm comprimentos |x| e |y|, daí a raiz quadrada da soma dos quadrados.

Passo 4

Direção e ângulo: geometricamente também associamos ao vetor um ângulo \theta medido em relação ao eixo positivo x. As componentes do vetor se relacionam com módulo e ângulo por:
x=\|\mathbf{v}\|\cos\theta,\qquad y=\|\mathbf{v}\|\sin\theta.
Se você conhece as componentes x e y, o ângulo (quando x\neq0) pode ser obtido por
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
tomando cuidado com o quadrante (usar \operatorname{atan2}(y,x) na prática).

Passo 5

Representação por componentes: geometricamente é comum “fixar” a cauda na origem O=(0,0); então o vetor é o segmento orientado de O até o ponto (x,y). Nesse caso escrevemos
\mathbf{v}=(x,y)
ou como coluna
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Isso é chamado de vetor posição quando parte da origem. Em 3D análogo: \mathbf{v}=(x,y,z) e \|\mathbf{v}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.]

Passo 6

Vetores livres vs. ligados: geometricamente podemos mover um vetor paralelamente sem alterar suas propriedades (módulo, direção e sentido) — esse é o conceito de vetor livre. Se o vetor está preso a uma posição específica (por exemplo força num ponto), é um vetor ligado. Nas contas da maioria das disciplinas usamos vetores livres (podemos “arrastá‑los” na folha).

Passo 7

Base canônica e decomposição: no plano usamos os vetores unitários
\mathbf{i}=(1,0),\qquad \mathbf{j}=(0,1).
Qualquer vetor \mathbf{v}=(x,y) pode ser escrito como
\mathbf{v}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.
Geometricamente isso significa que \mathbf{v} é a soma de uma flecha de comprimento |x| ao longo do eixo x e outra de comprimento |y| ao longo do eixo y.

Passo 8

Operações geométricas — soma: a soma de vetores é feita geometricamente pelo método ponta‑com‑cauda (ou pelo paralelogramo). Exemplo concreto: se
\mathbf{a}=(2,1),\qquad \mathbf{b}=(1,3),
colocamos a cauda de \mathbf{b} na cabeça de \mathbf{a}; o vetor resultante \mathbf{a}+\mathbf{b} vai da cauda de \mathbf{a} até a cabeça de \mathbf{b}. Em componentes:
\mathbf{a}+\mathbf{b}=(2+1,\;1+3)=(3,4).

Passo 9

Operações geométricas — multiplicação por escalar: multiplicar um vetor por um escalar \lambda muda seu comprimento e possivelmente seu sentido:
\lambda\mathbf{v}=(\lambda x,\lambda y).
Se \lambda>0, apenas alonga/encolhe o vetor; se \lambda<0, além de escalonar, inverte o sentido (vira 180°). Exemplo: 2\mathbf{a}=(4,2) duplica o comprimento; -1\mathbf{a}=(-2,-1) inverte a direção.

Passo 10

Casos especiais e observações práticas:
  • O vetor nulo \mathbf{0}=(0,0) tem módulo zero e não tem direção bem definida.
  • Para desenhar um vetor na prova: escolha um sistema de eixos, marque as componentes como um ponto (x,y) e desenhe a seta da origem a esse ponto (ou desenhe o segmento orientado qualquer e escreva as componentes ao lado).
  • Para encontrar módulo e direção use as fórmulas de Pitágoras e \arctan mostradas acima.

Passo 11

Dica de prova (para te deixar confiante): quando pedirem “representar geometricamente”, faça um desenho simples com eixos, coloque a cauda na origem (se possível), marque o ponto com coordenadas e desenhe a seta; em seguida escreva módulo \sqrt{x^{2}+y^{2}} e ângulo \theta com \cos\theta=x/\|\mathbf{v}\| e \sin\theta=y/\|\mathbf{v}\|. Isso mostra que você entendeu tanto a imagem quanto os cálculos.

Resposta

Geometricamente, vetores são representados por segmentos orientados (setas) que têm módulo (comprimento), direção (reta ao longo da qual se alinham) e sentido (para onde apontam); na prática escrevemos um vetor em coordenadas como \mathbf{v}=(x,y) (ou \mathbf{v}=(x,y,z) em 3D), com módulo \|\mathbf{v}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (ou \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}) e ângulo \theta tal que x=\|\mathbf{v}\|\cos\theta,\;y=\|\mathbf{v}\|\sin\theta; soma geométrica é pelo método ponta‑com‑cauda (ou paralelogramo) e multiplicação por escalar escala o comprimento (mudando sentido se o escalar for negativo).

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