Pergunta clara: encontrar os valor(es) de k tais que \mathbf{A} não tem inversa.]
Passo 2
Entender o que significa “matriz singular”. Uma matriz quadrada 2\times2 é singular (ou não inversível) exatamente quando seu determinante é zero. Vou explicar o determinante para 2\times2:
Se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é
\det(M)=ad-bc.
Aqui cada letra representa o elemento da matriz: a é o elemento da primeira linha primeira coluna, b é primeira linha segunda coluna, c é segunda linha primeira coluna e d é segunda linha segunda coluna.]
Passo 3
Aplicando isso à nossa matriz \mathbf{A}, identificamos:
a=k+1,\quad b=4,\quad c=3,\quad d=k.
Portanto o determinante de \mathbf{A} é
\det(\mathbf{A})=(k+1)\cdot k - 4\cdot 3.
Passo 4
Agora simplificamos a expressão do determinante passo a passo. Primeiro multiplicamos (k+1)\cdot k:
(k+1)\cdot k = k^2 + k.
Subtraindo 4\cdot 3 = 12, obtemos
\det(\mathbf{A}) = k^2 + k - 12.
Passo 5
Para que a matriz seja singular precisamos de \det(\mathbf{A})=0. Então resolvemos a equação
k^2 + k - 12 = 0.
Tentamos fatorar procurando dois números cujo produto seja -12 e cuja soma seja 1. Esses números são 4 e -3. Assim fazemos a fatoração:
Para checar: substituindo k=3 no determinante dá 3^2+3-12=9+3-12=0; substituindo k=-4 dá (-4)^2+(-4)-12=16-4-12=0. Em ambos os casos o determinante é zero, logo a matriz não é inversível.