Para qual valor de k a matriz A é uma matriz singular (não inversivel)?
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} k+1 & 4 \\\\ 3 & k \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Para qual valor de k a matriz \mathbf{A} é singular (não inversível)?”
Informações dadas:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}k+1 & 4 \\[4pt] 3 & k\end{pmatrix}
Pergunta clara: encontrar os valor(es) de k tais que \mathbf{A} não tem inversa.]

Passo 2

Entender o que significa “matriz singular”. Uma matriz quadrada 2\times2 é singular (ou não inversível) exatamente quando seu determinante é zero. Vou explicar o determinante para 2\times2:
Se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é
\det(M)=ad-bc.
Aqui cada letra representa o elemento da matriz: a é o elemento da primeira linha primeira coluna, b é primeira linha segunda coluna, c é segunda linha primeira coluna e d é segunda linha segunda coluna.]

Passo 3

Aplicando isso à nossa matriz \mathbf{A}, identificamos:
a=k+1,\quad b=4,\quad c=3,\quad d=k.
Portanto o determinante de \mathbf{A} é
\det(\mathbf{A})=(k+1)\cdot k - 4\cdot 3.

Passo 4

Agora simplificamos a expressão do determinante passo a passo. Primeiro multiplicamos (k+1)\cdot k:
(k+1)\cdot k = k^2 + k.
Subtraindo 4\cdot 3 = 12, obtemos
\det(\mathbf{A}) = k^2 + k - 12.

Passo 5

Para que a matriz seja singular precisamos de \det(\mathbf{A})=0. Então resolvemos a equação
k^2 + k - 12 = 0.
Tentamos fatorar procurando dois números cujo produto seja -12 e cuja soma seja 1. Esses números são 4 e -3. Assim fazemos a fatoração:
k^2 + k - 12 = (k+4)(k-3).

Passo 6

Agora usamos a fatoração para achar as raízes:
(k+4)(k-3)=0 \quad\Rightarrow\quad k+4=0 \\ \text{ou}\\ k-3=0.
Portanto
k=-4 \quad\text{ou}\quad k=3.
Para checar: substituindo k=3 no determinante dá 3^2+3-12=9+3-12=0; substituindo k=-4 (-4)^2+(-4)-12=16-4-12=0. Em ambos os casos o determinante é zero, logo a matriz não é inversível.

Resposta

k=-4
k=3

Exercícios relacionados