Exercício 1 - Usando analise qualitativa, esboce algumas das soluções das seguintes equações diferenciais
\frac{d y}{d t}=-y-y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autonôma
\frac{dy}{dt}=-y-y^{2}
e pede que, usando análise qualitativa, se esbocem algumas soluções.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é autonôma: a taxa \dfrac{dy}{dt} depende apenas de y, não de t.
  • Queremos entender o comportamento das soluções sem necessariamente traçar todas de forma exata: equilibria, estabilidade, sentido do movimento no eixo y, comportamentos limite e exemplos típicos para diferentes condições iniciais.

Passo 2

Encontremos os pontos de equilíbrio (soluções estacionárias). Pontos de equilíbrio são valores \bar y tais que \dfrac{dy}{dt}=0. Assim resolvemos
-y-y^{2}=0.
Fatorando,
-y(1+y)=0.
Logo os equilíbrios são
\bar y=0\quad\text{e}\quad \bar y=-1.
Esses são os pontos onde a solução pode ficar constante (se a condição inicial for exatamente um deles).

Passo 3

Classificação da estabilidade por linearização (pequena “aula” rápida).
Para uma equação autonôma \dfrac{dy}{dt}=f(y), a linearização em torno de um equilíbrio \bar y usa f'(\bar y):
  • Se f'(\bar y)<0, o equilíbrio é localmente assintoticamente estável (atrai soluções próximas).
  • Se f'(\bar y)>0, o equilíbrio é instável (repulsor).
  • Se f'(\bar y)=0, é caso degenerado (precisa de análise mais refinada).
Aqui f(y)=-y-y^{2}. Calculemos a derivada:
f'(y)=-1-2y.
Avaliaremos nos equilíbrios:
f'(0)=-1-2\cdot 0=-1<0\quad\Rightarrow\quad \text{\(y=0\) é estável (atrai soluções).}éáçõ
f'(-1)=-1-2(-1)=-1+2=1>0\quad\Rightarrow\quad \text{\(y=-1\) é instável (repulsor).}éá

Passo 4

Análise do sinal de f(y) (linha de fases). Isso diz para que lado as soluções se movem ao aumentar t.
Escrevendo
f(y)=-y(1+y),
verificamos os sinais por intervalos:
  • Para y>0: y>0 e 1+y>0 então f(y)=-(positivo) <0. Logo \dfrac{dy}{dt}<0: as soluções diminuem (setas para baixo), tendendo para y=0.
  • Para -1<y<0: y<0 e 1+y>0 então -y(1+y)>0. Logo \dfrac{dy}{dt}>0: as soluções crescem, tendendo para y=0.
  • Para y<-1: y<0 e 1+y<0 então -y(1+y)<0. Logo \dfrac{dy}{dt}<0: as soluções diminuem (ficam mais negativas).
Interpretação qualitativa:
  • y=0 atrai soluções vindas de cima ( y>0) e de baixo ( -1<y<0) — é estável.
  • y=-1 repele: soluções logo acima de -1 sobem para 0; soluções abaixo de -1 descem para -\infty.

Passo 5

Resolução geral por separação de variáveis (útil para ver detalhes qualitativos e tempos de ocorrência).
Partimos de
\frac{dy}{dt}=-y(1+y).
Separamos as variáveis:
\frac{dy}{-y(1+y)}=dt.
Fazemos frações parciais. Observa-se que
\frac{1}{y(1+y)}=\frac{1}{y}-\frac{1}{1+y},
portanto
\frac{1}{-y(1+y)}=-\frac{1}{y}+\frac{1}{1+y}.
Integrando ambos os lados,
\int\Big(-\frac{1}{y}+\frac{1}{1+y}\Big)\,dy=\int dt.
As integrais dão
-\ln|y|+\ln|1+y|=t+C,
ou
\ln\left|\frac{1+y}{y}\right|=t+C.
Exponenciando,
\frac{1+y}{y}=K e^{t},
onde K=e^{C} é constante determinada pela condição inicial y(0)=y_{0}. Isolando y,
1+\frac{1}{y}=K e^{t}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y}=K e^{t}-1,
portanto a solução explícita (quando y não é um equilíbrio) é
\boxed{\,y(t)=\dfrac{1}{K e^{t}-1}\,}
com
K=\frac{1+y_{0}}{y_{0}}\quad\text{(obtido impondo \(t=0\) e \(y(0)=y_{0}\)).}
Observação: se y_{0}=0 ou y_{0}=-1 então a solução é a constante correspondente (equilíbrio) e a fórmula acima não se aplica diretamente porque envolve divisão por zero para definir K.

Passo 6

Usando a expressão explícita e a análise de sinais, deduzimos os comportamentos qualitativos para diferentes condições iniciais.
  1. Caso y(0)=y_{0}>0.
  • Então K=\dfrac{1+y_{0}}{y_{0}}>1 (porque \dfrac{1+y_{0}}{y_{0}}=1+\dfrac{1}{y_{0}}>1).
  • Para t\to+\infty, K e^{t}\to+\infty e assim y(t)=1/(K e^{t}-1)\to 0^{+}. Ou seja, soluções positivas decaem monotonamente para y=0.
  • No passado existe um tempo finito t_{*} tal que K e^{t_{*}}-1=0, isto é t_{*}=\ln(1/K)<0. Ao aproximar-se de t_{*} por valores maiores, y(t)\to+\infty. Em palavras: soluções positivas têm um sopro de singularidade no passado (blow-up ao passar para o passado), mas para frente de tempo vão tranquilo para 0.
  1. Caso -1<y_{0}<0.
  • Aqui K=(1+y_{0})/y_{0}<0 (numerador positivo, denominador negativo).
  • Para todo t\in\mathbb{R}, K e^{t}<0 e K e^{t}-1<0, então y(t) é sempre negativo e finito.
  • Como t\to+\infty, K e^{t}\to -\infty e y(t)\to 0^{-}. Como t\to -\infty, K e^{t}\to 0^{-} e y(t)\to -1^{+}.
  • Em termos simples: soluções com -1<y_{0}<0 são definidas para todo t, crescem monotonamente de y=-1 (no passado distante) para y=0 (no futuro distante).
  1. Caso y_{0}<-1.
  • Agora 1+y_{0}<0 e y_{0}<0, então K=(1+y_{0})/y_{0}>0. Além disso 0<K<1 (por álgebra simples).
  • Existe um tempo finito t_{*}=\ln(1/K)>0 tal que K e^{t_{*}}-1=0. Ao aproximar t\to t_{*}^{-}, o denominador tende a 0^{-} e y(t)\to -\infty. Ou seja, a solução diverge para -\infty em tempo finito no futuro.
  • No passado, quando t\to -\infty, tem-se y(t)\to -1. Logo essas soluções partem próximas a -1 no passado e vão até -\infty em tempo finito no futuro.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos (para ajudar a visualizar):
  • Para y_{0}=1: K=(1+1)/1=2. Então
y(t)=\frac{1}{2e^{t}-1}.
Aqui y(t) decai de +\infty (no passado, em t=\ln(1/2)) para 0^{+} quando t\to+\infty.
  • Para y_{0}=-\tfrac{1}{2}: K=(1-1/2)/(-1/2)=-1. Então
y(t)=-\frac{1}{e^{t}+1},
definida para todo t, aumenta de -1 (para t\to -\infty) para 0 (para t\to+\infty).
  • Para y_{0}=-2: K=(1-2)/(-2)=\tfrac{1}{2}. Então
y(t)=\frac{1}{\tfrac{1}{2}e^{t}-1}.
Essa solução está bem definida até t_{*}=\ln 2; ao aproximar t\to t_{*}^{-} tem y(t)\to -\infty.

Passo 8

Como esboçar graficamente (passo a passo rápido para a prova):
  • Desenhe o eixo vertical y (linha de fases). Marque -1 e 0. Coloque setas: para y>0 setas para baixo (apontando para 0); para -1<y<0 setas para cima (apontando para 0); para y<-1 setas para baixo (tendendo para -\infty). Isso já é um esboço qualitativo rápido das trajetórias no espaço de fases.
  • No plano t- y: para -1<y_{0}<0 faça curvas que começam próximas a -1 quando t é muito negativo e crescem suavemente até 0 quando t grande; para y_{0}>0 desenhe curvas decrescentes que tendem a 0 conforme t\to+\infty (e que, olhando para o passado, explodem a +\infty em tempo finito); para y_{0}<-1 desenhe curvas que caem e atingem -\infty em tempo finito futuro.
Força aí — com a linha de fases + uma ou duas curvas tipo das que dei como exemplo você já tem um esboço qualificado e seguro para a prova.

Resposta

Pontos de equilíbrio: \bar y=0 (estável) e \bar y=-1 (instável).
Solução geral (não estacionária): \displaystyle y(t)=\dfrac{1}{K e^{t}-1} com K=\dfrac{1+y_{0}}{y_{0}}, onde y_{0}=y(0).
Comportamentos qualitativos:
  • Se y_{0}>0: y(t) decresce monotonamente para 0^{+} quando t\to+\infty; existe blow-up em tempo finito no passado.
  • Se -1<y_{0}<0: y(t) está definida para todo t, cresce monotonamente de -1 (quando t\to -\infty) para 0 (quando t\to+\infty).
  • Se y_{0}<-1: y(t) tende a -1 quando t\to -\infty e diverge para -\infty em tempo finito no futuro.
  • Para y_{0}=0 ou y_{0}=-1: soluções constantes y(t)\equiv0 e y(t)\equiv-1, respectivamente.

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