Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar os diagramas de Bode (magnitude em dB e fase em graus) para a função de transferência
Informações dadas (resumo explícito que usarei na resolução):
- Zeros:
com multiplicidade (zero duplo). - Polos:
(polo na origem), e (polos reais simples). - Frequências características (pontos de quebra):
. - O que se pede: esboçar (assintoticamente) o módulo em dB e a fase em graus, ou seja, determinar os declives (dB/dec), as mudanças de declive nos pontos de quebra, e o comportamento da fase (valores e rampas) nas várias regiões de frequência.
Passo 2
Preparar a função em fatores normalizados e entender a contribuição assintótica de cada fator.
Escrevemos como produto de fatores “normalizados” no formato
ou
para enxergar as quebras:
Escrevemos
Regras assintóticas básicas (vai ser necessário usar estas ideias na prova; aqui eu explico com calma):
- Em magnitude (dB): um zero do tipo
contribui 0 dB (constante) para e, para , passa a contribuir com uma inclinação de (por zero simples). Um zero duplo dobra a inclinação: acima da quebra. - Um polo simples
contribui 0 dB para e para . Um polo na origem (integrador) equivale a em toda a faixa e tem ganho que depende de como . - Em fase: um zero simples dá uma transição de
para ocorrendo aproximadamente entre e ; um zero duplo dá duas vezes isso (total ). Um polo simples faz a transição oposta ( para ), e um polo na origem já dá fixos para todas as frequências (fase de é ). - Nas assintotas de fase usamos a aproximação “uma década antes → início da rampa; no
→ valor intermediário; uma década depois → valor final”. Essa regra é a usada em provas para esboços rápidos.
Passo 3
Determinar quebracentros e o declive inicial e como muda o declive em cada quebra.
- Pontos de quebra:
(zero duplo), (polo), (polo). Também há o polo na origem que afeta desde . - Declive inicial para
: só o polo na origem está ativo (os outros fatores são ~ constantes), então declive inicial é . - Ao cruzar
(zero duplo) adicionamos . Assim no intervalo o declive passa a ser . - Ao cruzar
(polo simples) adicionamos . Assim em o declive é (plano). - Ao cruzar
(polo simples) adicionamos mais . Para o declive final é .
Resumo dos declives (magnitude, dB/dec):
-
. -
. -
. -
.
Passo 4
Ancorar a reta assintótica de magnitude: calcular um ponto de referência prático (usar
é conveniente porque é uma quebra).
Calcular o módulo exato em para fixar o valor das retas assintóticas:
Calcular o módulo exato em
Calcule passo a passo (aproximações simples, sem calculadora complexa; eu mostro como fazer na prova):
-
, logo . -
-
-
Multiplicando o denominador:
Logo
Em dB:
Observação didática: eu escolhi
porque o zero está aí e o cálculo fica simples; esse valor exato em
serve para passar a reta assintótica principal (ou seja, é o ponto que a reta de
e as retas subsequentes vão atravessar nos seus segmentos).
Passo 5
Construir as retas assintóticas de magnitude usando o ponto âncora
e os declives encontrados.
Aplicando os declives por décadas a partir de :
Aplicando os declives por décadas a partir de
- Para
: declive . Uma década abaixo ( ) aumenta em , então - Em
: declive . Uma década acima ( ): - Em
: declive . Em permanece - Em
: declive . Em (uma década acima de 100):
Então, a linha assintótica de magnitude passa pelos pontos (aproximados):
-
, -
(âncora calculada), -
, -
, -
.
Observação prática: a reta assintótica paratende para quando (porque há um polo na origem), e a inclinação -20 dB/dec ao aumentar significa que o gráfico decresce conforme subimos em frequência até a primeira quebra.
Passo 6
Explicar e preparar a construção assintótica da fase (regra prática e intuitiva).
Relembrando a regra de fase assintótica para cada elemento:
Relembrando a regra de fase assintótica para cada elemento:
- Polo na origem
→ fase constante em toda a faixa. - Zero simples em
→ fase vai de (para ) a (para ), com valor aproximado em . O rampa se estende por duas décadas (de a ). - Zero duplo duplica a contribuição de fase (ou seja, total
final). - Polo simples em
faz a transição 0 → nas mesmas duas décadas (de a ).
Na prática na prova marcamos as décadas de início/fim de cada transição e somamos as contribuições.
Passo 7
Calcular a fase assintótica total em frequências-chave usando a soma das contribuições (usar as décadas de início/fim para cada elemento).
Elementos e seus intervalos de transição:
Elementos e seus intervalos de transição:
- Zero duplo em
: transição de para ocorrendo de até . Isso equivale a por década (duas décadas totalizando +180°). - Polo em
: transição de para de até (taxa por década). - Polo em
: transição de para de até (taxa por década). - Polo na origem:
em toda a faixa.
Agora somamos as contribuições em pontos típicos ():
-
(uma década abaixo do zero em 1):
- polo origem:
- zero duplo: ainda em 0° (começa a mudar aqui), portanto
- polo 10: como
, ainda - polo 100: como
,
Total:.
-
(quebra do zero):
- polo origem:
- zero duplo: contribuição aproximada
(metade do total de +180°) - polo 10: ainda
(transição começa em , portanto aqui vale ~0°) - polo 100:
Total:.
-
(uma década acima do zero e quebra do polo em 10):
- polo origem:
- zero duplo: já completou
- polo 10: aqui tem valor aproximado
(metade da transição) - polo 100: ainda
(sua transição começará em )
Total:.
-
(quebra do polo em 100):
- polo origem:
- zero duplo:
- polo 10: já completou
- polo 100: aqui vale aproximadamente
Total:.
-
(uma década acima de 100):
- polo origem:
- zero duplo:
- polo 10:
- polo 100:
Total:.
Esses pontos permitem traçar a rampa assintótica de fase conectando os valores nas décadas, com inclinações por trecho que vêm da soma das inclinações parciais:
- entre
e : a fase vai de a → subida de por década. - entre
e : sobe de a → média por década. - entre
e : desce de a → descida de por década. - entre
e : desce de a → descida de por década.
Passo 8
Como desenhar (instruções práticas e resumo final do esboço):
- Magnitude (em dB):
- Marque em escala logaritmica as frequências
. - No ponto
marque (âncora). Ligue retas com inclinações dadas: - para
: reta com declive (subindo quando vamos para a esquerda). - para
: reta com declive . - para
: reta horizontal (0 dB/dec). - para
: declive .
- para
- Pontos de referência (assintóticos) obtidos:
, , , , .
- Marque em escala logaritmica as frequências
- Fase (em graus):
- Marque os mesmos pontos de frequência.
- Use os valores calculados:
, , , , . - Ligue por segmentos lineares entre esses pontos conforme as inclinações previstas (ver Passo 7).
- Dica prática para a prova: escreva os fatores normalizados, anote imediatamente polos/zeros e multiplicidades, liste as quebras e some as inclinações (em dB/dec ou deg/dec) para cada trecho — isso é rápido e sempre funciona para esboço assintótico.
Resposta
Magnitude (dB) assintótica:
são as quebras. Declives por trecho:
Pontos assintóticos de referência (âncora em ):
Pontos assintóticos de referência (âncora em
Fase (graus) assintótica:
Contribuições somadas dão os valores-chave e rampas entre décadas:
Rampas (aprox.): entre –
:
dec; entre
–
:
dec; entre
–
:
dec; entre
–
:
dec.
Contribuições somadas dão os valores-chave e rampas entre décadas:
Rampas (aprox.): entre