Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
\quad H(s)=\frac{(s+1)^{2}}{s(s+10)(s+100)}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar os diagramas de Bode (magnitude em dB e fase em graus) para a função de transferência
H(s)=\frac{(s+1)^{2}}{s(s+10)(s+100)}.
Informações dadas (resumo explícito que usarei na resolução):
  • Zeros: s=-1 com multiplicidade 2 (zero duplo).
  • Polos: s=0 (polo na origem), s=-10 e s=-100 (polos reais simples).
  • Frequências características (pontos de quebra): \omega=1,\;10,\;100.
  • O que se pede: esboçar (assintoticamente) o módulo em dB e a fase em graus, ou seja, determinar os declives (dB/dec), as mudanças de declive nos pontos de quebra, e o comportamento da fase (valores e rampas) nas várias regiões de frequência.

Passo 2

Preparar a função em fatores normalizados e entender a contribuição assintótica de cada fator.
Escrevemos H(s) como produto de fatores “normalizados” no formato (1+s/\omega_0) ou 1/(s/\omega_0) para enxergar as quebras:
H(s)=\frac{(s+1)^2}{s(s+10)(s+100)}=\frac{1}{1}\cdot\frac{(1+s/1)^2}{(s/1)\,(1+s/10)\,(1+s/100)}.
Regras assintóticas básicas (vai ser necessário usar estas ideias na prova; aqui eu explico com calma):
  • Em magnitude (dB): um zero do tipo (1+s/\omega_z) contribui 0 dB (constante) para \omega\ll\omega_z e, para \omega\gg\omega_z, passa a contribuir com uma inclinação de +20\\ \text{dB/dec} (por zero simples). Um zero duplo dobra a inclinação: +40\\ \text{dB/dec} acima da quebra.
  • Um polo simples (1+s/\omega_p)^{-1} contribui 0 dB para \omega\ll\omega_p e -20\\ \text{dB/dec} para \omega\gg\omega_p. Um polo na origem (s)^{-1} (integrador) equivale a -20\\ \text{dB/dec} em toda a faixa e tem ganho que depende de \omega como 1/\omega.
  • Em fase: um zero simples dá uma transição de 0^\circ para +90^\circ ocorrendo aproximadamente entre \omega_z/10 e 10\omega_z; um zero duplo dá duas vezes isso (total +180^\circ). Um polo simples faz a transição oposta ( 0^\circ para -90^\circ), e um polo na origem já dá -90^\circ fixos para todas as frequências (fase de 1/(j\omega) é -90^\circ).
  • Nas assintotas de fase usamos a aproximação “uma década antes → início da rampa; no \omega=\omega_0 → valor intermediário; uma década depois → valor final”. Essa regra é a usada em provas para esboços rápidos.

Passo 3

Determinar quebracentros e o declive inicial e como muda o declive em cada quebra.
  • Pontos de quebra: \omega_1=1 (zero duplo), \omega_2=10 (polo), \omega_3=100 (polo). Também há o polo na origem que afeta desde \omega\to 0.
  • Declive inicial para \omega\ll1: só o polo na origem está ativo (os outros fatores são ~ constantes), então declive inicial é -20\\ \text{dB/dec}.
  • Ao cruzar \omega=1 (zero duplo) adicionamos +40\\ \text{dB/dec}. Assim no intervalo 1<\omega<10 o declive passa a ser -20+40=+20\\ \text{dB/dec}.
  • Ao cruzar \omega=10 (polo simples) adicionamos -20\\ \text{dB/dec}. Assim em 10<\omega<100 o declive é +20-20=0\\ \text{dB/dec} (plano).
  • Ao cruzar \omega=100 (polo simples) adicionamos mais -20\\ \text{dB/dec}. Para \omega>100 o declive final é 0-20=-20\\ \text{dB/dec}.
Resumo dos declives (magnitude, dB/dec):
  • \omega<1:\\\ -20.
  • 1<\omega<10:\\\ +20.
  • 10<\omega<100:\\\ 0.
  • \omega>100:\\\ -20.

Passo 4

Ancorar a reta assintótica de magnitude: calcular um ponto de referência prático (usar \omega=1 é conveniente porque é uma quebra).
Calcular o módulo exato em \omega=1 para fixar o valor das retas assintóticas:
|H(j1)|=\frac{|j1+1|^{2}}{|j1|\;|j1+10|\;|j1+100|}.
Calcule passo a passo (aproximações simples, sem calculadora complexa; eu mostro como fazer na prova):
  • |j1+1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, logo |j1+1|^{2}=2.
  • |j1|=1.
  • |j1+10|=\sqrt{10^2+1^2}=\sqrt{101}\approx 10,05.
  • |j1+100|=\sqrt{100^2+1^2}=\sqrt{10001}\approx 100,005.
    Multiplicando o denominador: 1\cdot 10,05\cdot 100,005\approx 1005,05.
    Logo
|H(j1)|\approx\frac{2}{1005,05}\approx 0,00199.
Em dB:
20\log_{10}\big(0,00199\big)\approx -54,02\\ \text{dB}.
Observação didática: eu escolhi \omega=1 porque o zero está aí e o cálculo fica simples; esse valor exato em \omega=1 serve para passar a reta assintótica principal (ou seja, é o ponto que a reta de \omega<1 e as retas subsequentes vão atravessar nos seus segmentos).

Passo 5

Construir as retas assintóticas de magnitude usando o ponto âncora \omega=1,\; -54,02\\ \text{dB} e os declives encontrados.
Aplicando os declives por décadas a partir de \omega=1:
  • Para \omega<1: declive -20\\ \text{dB/dec}. Uma década abaixo ( \omega=0{,}1) aumenta em +20\\ \text{dB}, então |H(j0{,}1)|_{\text{assint}} \approx -54{,}02 + 20 = -34{,}02\\ \text{dB}.
  • Em 1<\omega<10: declive +20\\ \text{dB/dec}. Uma década acima ( \omega=10): |H(j10)|_{\text{assint}} \approx -54{,}02 + 20 = -34{,}02\\ \text{dB}.
  • Em 10<\omega<100: declive 0\\ \text{dB/dec}. Em \omega=100 permanece |H(j100)|_{\text{assint}} \approx -34{,}02\\ \text{dB}.
  • Em \omega>100: declive -20\\ \text{dB/dec}. Em \omega=1000 (uma década acima de 100): |H(j1000)|_{\text{assint}} \approx -34{,}02 - 20 = -54{,}02\\ \text{dB}.
Então, a linha assintótica de magnitude passa pelos pontos (aproximados):
  • \omega=0{,}1:\\\ -34{,}02\\ \text{dB},
  • \omega=1:\\\ -54{,}02\\ \text{dB} (âncora calculada),
  • \omega=10:\\\ -34{,}02\\ \text{dB},
  • \omega=100:\\\ -34{,}02\\ \text{dB},
  • \omega=1000:\\\ -54{,}02\\ \text{dB}.
    Observação prática: a reta assintótica para \omega<1 tende para +\infty quando \omega\to0 (porque há um polo na origem), e a inclinação -20 dB/dec ao aumentar \omega significa que o gráfico decresce conforme subimos em frequência até a primeira quebra.

Passo 6

Explicar e preparar a construção assintótica da fase (regra prática e intuitiva).
Relembrando a regra de fase assintótica para cada elemento:
  • Polo na origem (1/(j\omega)) → fase constante -90^\circ em toda a faixa.
  • Zero simples em \omega_z → fase vai de 0^\circ (para \omega<\omega_z/10) a +90^\circ (para \omega>\!10\omega_z), com valor aproximado +45^\circ em \omega=\omega_z. O rampa se estende por duas décadas (de \omega_z/10 a 10\omega_z).
  • Zero duplo duplica a contribuição de fase (ou seja, total +180^\circ final).
  • Polo simples em \omega_p faz a transição 0 → -90^\circ nas mesmas duas décadas (de \omega_p/10 a 10\omega_p).
    Na prática na prova marcamos as décadas de início/fim de cada transição e somamos as contribuições.

Passo 7

Calcular a fase assintótica total em frequências-chave usando a soma das contribuições (usar as décadas de início/fim para cada elemento).
Elementos e seus intervalos de transição:
  • Zero duplo em \omega=1: transição de 0^\circ para +180^\circ ocorrendo de \omega=0{,}1 até \omega=10. Isso equivale a +90^\circ por década (duas décadas totalizando +180°).
  • Polo em \omega=10: transição de 0^\circ para -90^\circ de \omega=1 até \omega=100 (taxa -45^\circ por década).
  • Polo em \omega=100: transição de 0^\circ para -90^\circ de \omega=10 até \omega=1000 (taxa -45^\circ por década).
  • Polo na origem: -90^\circ em toda a faixa.
    Agora somamos as contribuições em pontos típicos ( \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;100,\;1000):
  1. \omega=0{,}1 (uma década abaixo do zero em 1):
  • polo origem: -90^\circ
  • zero duplo: ainda em 0° (começa a mudar aqui), portanto 0^\circ
  • polo 10: como \omega<1, ainda 0^\circ
  • polo 100: como \omega<10, 0^\circ
    Total: -90^\circ.
  1. \omega=1 (quebra do zero):
  • polo origem: -90^\circ
  • zero duplo: contribuição aproximada +90^\circ (metade do total de +180°)
  • polo 10: ainda 0^\circ (transição começa em \omega=1, portanto aqui vale ~0°)
  • polo 100: 0^\circ
    Total: -90^\circ + 90^\circ = 0^\circ.
  1. \omega=10 (uma década acima do zero e quebra do polo em 10):
  • polo origem: -90^\circ
  • zero duplo: já completou +180^\circ
  • polo 10: aqui tem valor aproximado -45^\circ (metade da transição)
  • polo 100: ainda 0^\circ (sua transição começará em \omega=10)
    Total: -90 + 180 -45 = +45^\circ.
  1. \omega=100 (quebra do polo em 100):
  • polo origem: -90^\circ
  • zero duplo: +180^\circ
  • polo 10: já completou -90^\circ
  • polo 100: aqui vale aproximadamente -45^\circ
    Total: -90 +180 -90 -45 = -45^\circ.
  1. \omega=1000 (uma década acima de 100):
  • polo origem: -90^\circ
  • zero duplo: +180^\circ
  • polo 10: -90^\circ
  • polo 100: -90^\circ
    Total: -90 +180 -90 -90 = -90^\circ.
Esses pontos permitem traçar a rampa assintótica de fase conectando os valores nas décadas, com inclinações por trecho que vêm da soma das inclinações parciais:
  • entre 0{,}1 e 1: a fase vai de -90^\circ a 0^\circ → subida de +90^\circ por década.
  • entre 1 e 10: sobe de 0^\circ a +45^\circ → média +45^\circ por década.
  • entre 10 e 100: desce de +45^\circ a -45^\circ → descida de -90^\circ por década.
  • entre 100 e 1000: desce de -45^\circ a -90^\circ → descida de -45^\circ por década.

Passo 8

Como desenhar (instruções práticas e resumo final do esboço):
  • Magnitude (em dB):
    1. Marque em escala logaritmica as frequências \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;100,\;1000.
    2. No ponto \omega=1 marque -54{,}02\\ \text{dB} (âncora). Ligue retas com inclinações dadas:
      • para \omega<1: reta com declive -20\\ \text{dB/dec} (subindo quando vamos para a esquerda).
      • para 1<\omega<10: reta com declive +20\\ \text{dB/dec}.
      • para 10<\omega<100: reta horizontal (0 dB/dec).
      • para \omega>100: declive -20\\ \text{dB/dec}.
    3. Pontos de referência (assintóticos) obtidos: \omega=0{,}1:\\\ -34{,}02\\ \text{dB}, \omega=1:\\\ -54{,}02\\ \text{dB}, \omega=10:\\\ -34{,}02\\ \text{dB}, \omega=100:\\\ -34{,}02\\ \text{dB}, \omega=1000:\\\ -54{,}02\\ \text{dB}.
  • Fase (em graus):
    1. Marque os mesmos pontos de frequência.
    2. Use os valores calculados: \omega=0{,}1:\\\ -90^\circ, \omega=1:\\\ 0^\circ, \omega=10:\\\ +45^\circ, \omega=100:\\\ -45^\circ, \omega=1000:\\\ -90^\circ.
    3. Ligue por segmentos lineares entre esses pontos conforme as inclinações previstas (ver Passo 7).
  • Dica prática para a prova: escreva os fatores normalizados, anote imediatamente polos/zeros e multiplicidades, liste as quebras e some as inclinações (em dB/dec ou deg/dec) para cada trecho — isso é rápido e sempre funciona para esboço assintótico.

Resposta

Magnitude (dB) assintótica:
\omega=1,\;10,\;100 são as quebras. Declives por trecho:
\omega<1:\\\ -20\\ \text{dB/dec};\\\ 1<\omega<10:\\\ +20\\ \text{dB/dec};\\\ 10<\omega<100:\\\ 0\\ \text{dB/dec};\\ \omega>100:\\\ -20\\ \text{dB/dec}.
Pontos assintóticos de referência (âncora em \omega=1): \omega=0{,}1:\\\ -34{,}02\\ \text{dB},\\ \omega=1:\\\ -54{,}02\\ \text{dB},\\ \omega=10:\\\ -34{,}02\\ \text{dB},\\ \omega=100:\\\ -34{,}02\\ \text{dB},\\ \omega=1000:\\\ -54{,}02\\ \text{dB}.
Fase (graus) assintótica:
Contribuições somadas dão os valores-chave e rampas entre décadas:
\omega=0{,}1:\\\ -90^\circ;\\ \omega=1:\\\ 0^\circ;\\ \omega=10:\\\ +45^\circ;\\ \omega=100:\\\ -45^\circ;\\ \omega=1000:\\\ -90^\circ.
Rampas (aprox.): entre 0{,}1 1: +90^\circ/dec; entre 1 10: +45^\circ/dec; entre 10 100: -90^\circ/dec; entre 100 1000: -45^\circ/dec.

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