Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
H(s)=\frac{10}{10 s+1}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) para a função de transferência
H(s)=\frac{10}{10s+1}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Função de transferência H(s) dada por \dfrac{10}{10s+1}.
  • Quero o diagrama de magnitude em dB e o diagrama de fase em graus, no formato assintótico (linhas retas típicas de Bode) — ou seja, identificar ganhos, frequências de canto, inclinações por década e valores de fase assintóticos.
  • Não há figura fornecida; vou usar a expressão para obter os parâmetros necessários.

Passo 2

Colocar H(s) em forma padrão de primeiro ordem e identificar parâmetros úteis.
Escrevo H(s) como
H(s)=\frac{10}{1+10s} = \frac{K}{1+\tau s},
onde, comparando, temos K=10 e \tau=10. A frequência de canto (pulsação de quebra) é
\omega_c=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{10}=0{,}1\\ \text{rad/s}.
Ganho em corrente contínua (DC) é H(0)=K=10. Em dB:
20\log_{10}K = 20\log_{10}10 = 20\\ \text{dB}.
Resumo útil para o esboço: K=10, \tau=10, \omega_c=0{,}1\\ \text{rad/s}, ganho DC =20\\ \text{dB}.

Passo 3

Derivar fórmula exata da magnitude (em dB) e mostrar como obter valores numéricos para comparação.
Módulo complexo:
|H(j\omega)|=\frac{10}{\sqrt{1+(10\omega)^2}}.
Em dB:
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}10-20\log_{10}\sqrt{1+(10\omega)^2}=20-10\log_{10}\bigl(1+(10\omega)^2\bigr).
Usamos essa expressão para calcular pontos exatos (apenas para referência ao esboço):
  • \omega=0: 20\\ \text{dB} (DC).
  • \omega=\omega_c=0{,}1: 20-10\log_{10}(1+1)=20-10\log_{10}2\approx20-3{,}0103\approx16{,}99\\ \text{dB}.
  • \omega=1: 20-10\log_{10}(1+100)\approx20-10\log_{10}101\approx-0{,}043\\ \text{dB}.
  • \omega=10: 20-10\log_{10}(1+10000)\approx20-10\log_{10}10001\approx-20{,}00\\ \text{dB}.
Esses valores mostram onde a curva exata passa; as assíntotas serão linhas retas que aproximam essa curva.

Passo 4

Construir a assíntota de magnitude (regras e raciocínio).
Regra para um polo de primeira ordem em s=-1/\tau:
  • Para \omega\ll\omega_c a função denominadora é aproximadamente 1, então |H(j\omega)|\approx K. Em dB: constante igual a 20\log_{10}K=20\\ \text{dB}.
  • Para \omega\gg\omega_c a expressão \sqrt{1+(10\omega)^2}\approx 10\omega, então |H(j\omega)|\approx 10/(10\omega)=1/\omega. Em dB: 20\log_{10}|H|\approx -20\log_{10}\omega.
No esboço assintótico isso se representa por:
  • Linha horizontal em 20\\ \text{dB} até a frequência de canto \omega_c=0{,}1\\ \text{rad/s}.
  • A partir de \omega_c traçar uma reta com declive -20\\ \text{dB/dec} (ou seja, cada década acima de \omega_c a magnitude cai 20\\ \text{dB} adicional).
    Observações práticas:
  • As linhas retas típicas de Bode muitas vezes se cruzam no ponto \omega=\omega_c com valor igual ao ganho de baixa frequência (a curva exata fica -3\\ \text{dB} abaixo desse ponto). Aqui a curva exata em \omega_c vale aproximadamente 16{,}99\\ \text{dB} (ou seja, -3{,}01\\ \text{dB} abaixo de 20\\ \text{dB}).

Passo 5

Derivar fórmula exata da fase e avaliar pontos chave.
Argumento (fase) de H(j\omega):
\angle H(j\omega)=\angle 10 - \angle(1+j10\omega) = -\arctan(10\omega).
Convertendo para graus:
\varphi(\omega) = -\arctan(10\omega)\cdot\frac{180}{\pi}\\ \text{(graus)}.
Valores de referência:
  • \omega\to0: \varphi\to0^\circ.
  • \omega=\omega_c=0{,}1: \varphi=-\arctan(1)\cdot\frac{180}{\pi}=-45^\circ.
  • \omega=1: \varphi\approx -\arctan(10)\cdot\frac{180}{\pi}\approx-84{,}29^\circ.
  • \omega\gg\omega_c: \varphi\to-90^\circ.

Passo 6

Construir a assíntota de fase (regra prática e esboço).
Regra prática padrão para um polo simples (fase assintótica):
  • A transição da fase ocorre aproximadamente entre \omega=0{,}1\omega_c e \omega=10\omega_c.
  • Para este caso \omega_c=0{,}1, então a faixa de transição é de \omega=0{,}01 até \omega=1 (duas décadas centradas em \omega_c).
    Assíntota típica (reta aproximada):
  • Para \omega\le 0{,}01: \varphi\approx 0^\circ.
  • De \omega=0{,}01 até \omega=1: descer linearmente de 0^\circ até -90^\circ. Uma regra fácil: queda de -45^\circ por década (porque são duas décadas para mudar 0^\circ\to-90^\circ).
    • No centro ( \omega=\omega_c=0{,}1) temos \varphi\approx-45^\circ.
  • Para \omega\ge 1: \varphi\approx -90^\circ.
    Note que esses são aproximantes assintóticos; a curva exata segue \varphi(\omega)=-\arctan(10\omega)\cdot180/\pi e coincide em pontos de referência como \omega_c.

Passo 7

Instruções finais para o esboço (passo a passo prático para fazer na folha — sem calculadora, só usando as assíntotas).
  1. Eixo horizontal: escala logaritmica em \omega (por ex.: marcar 0{,}01,\;0{,}1,\;1,\;10 etc). Marcar \omega_c=0{,}1.
  2. Diagrama de magnitude (dB):
    • Traçar linha horizontal em 20\\ \text{dB} até \omega=0{,}1.
    • A partir de \omega=0{,}1 traçar uma reta decrescente com inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • Marcar o ponto exato (\omega_c,16{,}99\\ \text{dB}) como referência ( -3\\ \text{dB} do ganho DC).
    • Opcional: marcar valores aproximados em \omega=1 (cerca de 0\\ \text{dB}) e \omega=10 (cerca de -20\\ \text{dB}).
  3. Diagrama de fase (graus):
    • Para \omega\le 0{,}01: traçar \varphi\approx0^\circ.
    • Entre \omega=0{,}01 e \omega=1: traçar linha retilínea que desce de 0^\circ a -90^\circ; em \omega=0{,}1 marcar -45^\circ.
    • Para \omega\ge 1: traçar \varphi\approx-90^\circ.
  4. Rotular eixos (magnitude em dB, fase em graus, frequência em rad/s no eixo log).

Resposta

Magnitude (assintótica): para \omega<0{,}1\\ \text{rad/s} magnitude constante em 20\\ \text{dB}; a partir de \omega=0{,}1\\ \text{rad/s} inclinação -20\\ \text{dB/dec}. Ponto exato em \omega=0{,}1 é \approx16{,}99\\ \text{dB} ( -3\\ \text{dB} do DC).\nFase (assintótica): para \omega\le0{,}01\\ \text{rad/s} \varphi\approx0^\circ; entre \omega=0{,}01 e \omega=1\\ \text{rad/s} decaimento linear de 0^\circ a -90^\circ (centro em \omega=0{,}1 com \varphi=-45^\circ); para \omega\ge1\\ \text{rad/s} \varphi\approx-90^\circ.

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