Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) para a função de transferência
Informações dadas e o que se pede:
- Função de transferência
dada por . - Quero o diagrama de magnitude em dB e o diagrama de fase em graus, no formato assintótico (linhas retas típicas de Bode) — ou seja, identificar ganhos, frequências de canto, inclinações por década e valores de fase assintóticos.
- Não há figura fornecida; vou usar a expressão para obter os parâmetros necessários.
Passo 2
Colocar
em forma padrão de primeiro ordem e identificar parâmetros úteis.
Escrevo como
Escrevo
onde, comparando, temos
e
. A frequência de canto (pulsação de quebra) é
Ganho em corrente contínua (DC) é
. Em dB:
Resumo útil para o esboço:
,
,
, ganho DC
.
Passo 3
Derivar fórmula exata da magnitude (em dB) e mostrar como obter valores numéricos para comparação.
Módulo complexo:
Módulo complexo:
Em dB:
Usamos essa expressão para calcular pontos exatos (apenas para referência ao esboço):
-
: (DC). -
: -
: -
:
Esses valores mostram onde a curva exata passa; as assíntotas serão linhas retas que aproximam essa curva.
Passo 4
Construir a assíntota de magnitude (regras e raciocínio).
Regra para um polo de primeira ordem em :
Regra para um polo de primeira ordem em
- Para
a função denominadora é aproximadamente , então . Em dB: constante igual a . - Para
a expressão , então . Em dB:
No esboço assintótico isso se representa por:
- Linha horizontal em
até a frequência de canto . - A partir de
traçar uma reta com declive (ou seja, cada década acima de a magnitude cai adicional).
Observações práticas: - As linhas retas típicas de Bode muitas vezes se cruzam no ponto
com valor igual ao ganho de baixa frequência (a curva exata fica abaixo desse ponto). Aqui a curva exata em vale aproximadamente (ou seja, abaixo de ).
Passo 5
Derivar fórmula exata da fase e avaliar pontos chave.
Argumento (fase) de :
Argumento (fase) de
Convertendo para graus:
Valores de referência:
-
: . -
: . -
: . -
: .
Passo 6
Construir a assíntota de fase (regra prática e esboço).
Regra prática padrão para um polo simples (fase assintótica):
Regra prática padrão para um polo simples (fase assintótica):
- A transição da fase ocorre aproximadamente entre
e . - Para este caso
, então a faixa de transição é de até (duas décadas centradas em ).
Assíntota típica (reta aproximada): - Para
: . - De
até : descer linearmente de até . Uma regra fácil: queda de por década (porque são duas décadas para mudar ). - No centro (
) temos .
- No centro (
- Para
: .
Note que esses são aproximantes assintóticos; a curva exata seguee coincide em pontos de referência como .
Passo 7
Instruções finais para o esboço (passo a passo prático para fazer na folha — sem calculadora, só usando as assíntotas).
- Eixo horizontal: escala logaritmica em
(por ex.: marcar etc). Marcar . - Diagrama de magnitude (dB):
- Traçar linha horizontal em
até . - A partir de
traçar uma reta decrescente com inclinação . - Marcar o ponto exato
como referência ( do ganho DC). - Opcional: marcar valores aproximados em
(cerca de ) e (cerca de ).
- Traçar linha horizontal em
- Diagrama de fase (graus):
- Para
: traçar . - Entre
e : traçar linha retilínea que desce de a ; em marcar . - Para
: traçar .
- Para
- Rotular eixos (magnitude em dB, fase em graus, frequência em rad/s no eixo log).
Resposta
Magnitude (assintótica): para
magnitude constante em
; a partir de
inclinação
. Ponto exato em
é
(
do DC).\nFase (assintótica): para
; entre
e
decaimento linear de
a
(centro em
com
); para
.