Exercício 1. Esboce a imagem, para
, de:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a imagem da aplicação paramétrica
O conteúdo aqui é representação de curvas paramétricas e sua conversão em forma explícita para esboço de gráfico.
Passo 2
Note que, como
e
, podemos eliminar o parâmetro
para obter a equação implícita da curva:
Isso mostra que a imagem de
é exatamente o gráfico da função cúbica
.
Passo 3
Para esboçar
, escolhemos alguns valores de
para gerar pontos:
Marcamos esses pontos no plano
.
Passo 4
Estudamos agora monotonicidade e concavidade. Como
a curva é estritamente crescente em todo
. A segunda derivada é
logo para
a curva é côncava para baixo e para
côncava para cima, com ponto de inflexão em
.
Passo 5
Por fim, anotamos o comportamento nas extremidades:
à medida que ,
;
à medida que ,
.
Isso confirma que a curva tem a clássica forma de “S” simétrica em relação à origem.
à medida que
à medida que
Isso confirma que a curva tem a clássica forma de “S” simétrica em relação à origem.
Resposta
A imagem de
é o gráfico da função
: uma curva em “S” que passa por
,
,
,
,
, é estritamente crescente, côncava para baixo em
e côncava para cima em
, com ponto de inflexão na origem.