Exercício 1. Esboce a imagem, para t in R, de:
F(t)=(t, t^3).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a imagem da aplicação paramétrica
Fcolon RtoR^2, F(t) = l(t,;t^3r)
O conteúdo aqui é representação de curvas paramétricas e sua conversão em forma explícita para esboço de gráfico.

Passo 2

Note que, como x=t e y=t^3, podemos eliminar o parâmetro t para obter a equação implícita da curva:
y = x^3
Isso mostra que a imagem de F é exatamente o gráfico da função cúbica xmapsto x^3.

Passo 3

Para esboçar y=x^3, escolhemos alguns valores de t para gerar pontos:
t=-2 &implies F(-2)=(-2,,-8), t=-1 &implies F(-1)=(-1,,-1), t=0 &implies F(0)=(0,0), t=1 &implies F(1)=(1,1), t=2 &implies F(2)=(2,8)
Marcamos esses pontos no plano (x,y).

Passo 4

Estudamos agora monotonicidade e concavidade. Como
dydx = d(t^3)dt/d(t)dt = 3t^2 = 3x^2 >= 0,
a curva é estritamente crescente em todo R. A segunda derivada é
d^2ydx^2 = d(3x^2)dx = 6x,
logo para x<0 a curva é côncava para baixo e para x>0 côncava para cima, com ponto de inflexão em (0,0).

Passo 5

Por fim, anotamos o comportamento nas extremidades:
à medida que tto+infty, y=t^3to+infty;
à medida que tto-infty, y=t^3to-infty.
Isso confirma que a curva tem a clássica forma de “S” simétrica em relação à origem.

Resposta

A imagem de F(t)=(t,t^3) é o gráfico da função y=x^3: uma curva em “S” que passa por (-2,-8), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,8), é estritamente crescente, côncava para baixo em x<0 e côncava para cima em x>0, com ponto de inflexão na origem.

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