Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo.
integral0^2 integral0^pi / 2 x sin y d y d x ;

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região de integração e calcular a integral iterada
integral0^2integral0^pi/2 xsin y ,dy,dx
O conteúdo aqui é integração dupla em um domínio retangular e vamos usar a ideia de que podemos integrar em duas etapas: primeiro em y (mantendo x fixo) e depois em x.

Passo 2

A região de integração no plano xy é
D = (x,y)mid 0 <= x <= 2,;0<= y <= tfracpi2,
que é um retângulo com base de comprimento 2 (no eixo x) e altura pi/2 (no eixo y).

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y, tratando x como constante:
integral0^pi/2 xsin y ,dy = x integral0^pi/2sin y ,dy = xl[-cos yr]0^pi/2 = xl(-cos(tfracpi2) + cos 0r) = x(0+1) = x

Passo 4

Agora integramos o resultado em x:
integral0^2 x ,dx = l[tfracx^22r]0^2 = tfrac2^22 - 0 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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