Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo.
integral duplaR x y e^x^2 y d A, com R=[0,1] times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaR x,y,e^x^2y,dA
sobre a região R=[0,1]times[0,2]. O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para escrever a integral em duas ordens e escolher a mais fácil para calcular.

Passo 2

A região R é o retângulo no plano xy determinado por
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2
Em termos de esboço, basta desenhar o retângulo cujos vértices são (0,0), (1,0), (1,2) e (0,2).

Passo 3

Pelas integrais iteradas de Fubini, temos duas ordens equivalentes:
integral0^1l(integral0^2 x,y,e^x^2y,dyr)dx e integral0^2l(integral0^1 x,y,e^x^2y,dxr)dy
Vamos escolher a segunda, pois a integral interna em x fica direta com substituição.

Passo 4

Calculemos
integral0^1 x,y,e^x^2y,dx
Use a substituição
t = x^2y, dt = 2x,y,dx Longrightarrow x,y,dx = dt2
Quando x=0, t=0; quando x=1, t=y. Logo
integral0^1 x,y,e^x^2y,dx = integral0^y e^t,dt2 = 12l[e^tr]0^y = 12l(e^y-1r)

Passo 5

Agora integramos em y de 0 a 2:
integral0^212l(e^y-1r),dy = 12l[integral0^2e^y,dy - integral0^21,dyr] = 12l[(e^y)|0^2 - (y)|0^2r] = 12l(e^2-1 - 2r) = e^2-32

Passo 6

Como a integral dupla existe e o integrando é contínuo em R, qualquer ordem de integração dá o mesmo resultado.

Resposta

integral0^1integral0^2 x,y,e^x^2y,dy,dx = e^2-32,
integral0^2integral0^1 x,y,e^x^2y,dx,dy = e^2-32

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