Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
sobre a região
. O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para escrever a integral em duas ordens e escolher a mais fácil para calcular.
Passo 2
A região
é o retângulo no plano
determinado por
Em termos de esboço, basta desenhar o retângulo cujos vértices são
,
,
e
.
Passo 3
Pelas integrais iteradas de Fubini, temos duas ordens equivalentes:
Vamos escolher a segunda, pois a integral interna em
fica direta com substituição.
Passo 4
Calculemos
Use a substituição
Quando
,
; quando
,
. Logo
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Passo 6
Como a integral dupla existe e o integrando é contínuo em
R , qualquer ordem de integração dá o mesmo resultado.