Nos exercícios 63 a 69, calcular a diferencial das funçōes dadas:
f(x, y, z)=e^x z t-x y.

Passo 1

Aqui a gente quer a diferencial total de uma função de quatro variáveis. Mais precisamente, seja
fcolon R^4toR, f(x,y,z,t)=e^xzt-xy
O que chamamos de diferencial total de f é a forma linear que aproxima o incremento de f quando as variáveis mudam um pouco. Em teoria, vale
df = partial fpartial x,dx + partial fpartial y,dy + partial fpartial z,dz + partial fpartial t,dt

Passo 2

Vamos calcular cada derivada parcial de f:
partial fpartial x = partialpartial xl(e^xzt-xyr) = zt,e^xzt-y,
partial fpartial y = partialpartial yl(e^xzt-xyr) = -x,
partial fpartial z = partialpartial zl(e^xzt-xyr) = xt,e^xzt,
partial fpartial t = partialpartial tl(e^xzt-xyr) = xz,e^xzt

Passo 3

Substituindo essas parciais na fórmula da diferencial total, obtemos
df = l(zt,e^xzt-yr),dx ;+; (-x),dy ;+; l(xt,e^xztr),dz ;+; l(xz,e^xztr),dt

Resposta

df = (zt,e^xzt-y),dx ;-; x,dy ;+; xt,e^xzt,dz ;+; xz,e^xzt,dt

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