Exercício 2. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y>2 x-1\right}
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y>2 x-1\right}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região do plano cartesiano dada por
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A desigualdade que define a região é
. - O domínio é todo o plano
, mas apenas os pontos que satisfazem a desigualdade fazem parte da região. - O pedido é um esboço (desenho) da região: identificar a reta fronteira e indicar qual lado dela deve ser sombreado (e se a reta faz parte da região ou não).
Passo 2
Identificar a reta fronteira.
A equação da reta que separa os pontos que podem satisfazer ou não a desigualdade é obtida trocando por
. Assim a reta fronteira é
A equação da reta que separa os pontos que podem satisfazer ou não a desigualdade é obtida trocando
Explicação didática: essa reta é o lugar geométrico dos pontos
para os quais a expressão à direita e à esquerda são iguais; a desigualdade vai selecionar um dos lados dessa reta.
Passo 3
Encontrar pontos-chave da reta para desenhá-la (interceptos e inclinação).
- Intercepto em
(onde ): substituir em dá
logo a reta passa por
.
- Intercepto em
(onde ): resolver dá
logo a reta passa por
.
- Inclinação (coeficiente angular): é
. Isso significa que, ao aumentar em , aumenta em . Em desenho prático: a partir de um ponto da reta, suba unidades e ande unidade à direita para obter outro ponto da reta.
Passo 4
Como desenhar a reta passo a passo (instrução prática para a prova).
- Marque o ponto
no eixo . - Marque o ponto
no eixo . - Trace uma linha reta passando por esses dois pontos.
- Como a desigualdade é estrita (
), desenhe essa reta como tracejada (linha pontilhada) para indicar que os pontos da reta não pertencem à região.
Dica: usar a inclinaçãopara verificar ou estender a reta: a partir de vá uma unidade à direita até e suba para obter — ponto também na reta.
Passo 5
Determinar qual lado da reta corresponde a
usando um ponto-teste.
Escolha um ponto fácil que não esteja na reta, por exemplo o ponto origem . Isso é permitido porque
(origem não está na reta). Agora verifique a desigualdade:
Escolha um ponto fácil que não esteja na reta, por exemplo o ponto origem
Como
é verdadeiro, o ponto
satisfaz
. Isso garante que o lado da reta onde está a origem deve ser sombreado.
Passo 6
Interpretação geométrica e definição da região.
A região solicitada é o semiplano aberto (meio-plano) acima da reta . “Acima” aqui significa o conjunto dos pontos cuja ordenada
é maior que o valor dado por
na mesma abscissa
. Como a desigualdade é estrita, a fronteira (a reta) não pertence à região.
A região solicitada é o semiplano aberto (meio-plano) acima da reta
Passo 7
Como sombrear no esboço final (etapas finais para o desenho).
- Trace a reta
como uma linha tracejada passando por e . - Marque o ponto-teste
(opcional no desenho) para lembrar que o lado que contém a origem é o que deve ser sombreado. - Sombreie (ou pinte com lápis) todo o lado da reta que contém
. Evite sombrear a própria reta (deixe-a tracejada e não preenchida), porque a desigualdade é estrita.
Observação pedagógica: se a desigualdade fosse, a reta seria desenhada contínua e também sombreada (inclui a fronteira).
Passo 8
Resumo final do procedimento — um checklist rápido para a prova:
- Transforme
em para obter a reta fronteira. - Ache interceptos e use a inclinação para traçar a reta.
- Como é
(estrito), faça a reta tracejada. - Use um ponto-teste (por exemplo
) para decidir qual lado sombrear. - Sombreie o semiplano que satisfaz a desigualdade.
Resposta
A região é o semiplano aberto acima da reta
: traçar a reta
em linha tracejada (não incluída) e sombrear o lado que contém
.