Exercício 2. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y>2 x-1\right}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano cartesiano dada por
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y>2x-1\}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A desigualdade que define a região é y>2x-1.
  • O domínio é todo o plano \mathbb{R}^2, mas apenas os pontos que satisfazem a desigualdade fazem parte da região.
  • O pedido é um esboço (desenho) da região: identificar a reta fronteira e indicar qual lado dela deve ser sombreado (e se a reta faz parte da região ou não).

Passo 2

Identificar a reta fronteira.
A equação da reta que separa os pontos que podem satisfazer ou não a desigualdade é obtida trocando > por =. Assim a reta fronteira é
y=2x-1.
Explicação didática: essa reta é o lugar geométrico dos pontos (x,y) para os quais a expressão à direita e à esquerda são iguais; a desigualdade vai selecionar um dos lados dessa reta.

Passo 3

Encontrar pontos-chave da reta para desenhá-la (interceptos e inclinação).
  • Intercepto em y (onde x=0): substituir x=0 em y=2x-1
y=2\cdot 0 -1 = -1,
logo a reta passa por (0,-1).
  • Intercepto em x (onde y=0): resolver 0=2x-1
2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2},
logo a reta passa por (\tfrac{1}{2},0).
  • Inclinação (coeficiente angular): é 2. Isso significa que, ao aumentar x em 1, y aumenta em 2. Em desenho prático: a partir de um ponto da reta, suba 2 unidades e ande 1 unidade à direita para obter outro ponto da reta.

Passo 4

Como desenhar a reta passo a passo (instrução prática para a prova).
  1. Marque o ponto (0,-1) no eixo y.
  2. Marque o ponto (\tfrac{1}{2},0) no eixo x.
  3. Trace uma linha reta passando por esses dois pontos.
  4. Como a desigualdade é estrita ( >), desenhe essa reta como tracejada (linha pontilhada) para indicar que os pontos da reta não pertencem à região.
    Dica: usar a inclinação 2 para verificar ou estender a reta: a partir de (\tfrac{1}{2},0) vá uma unidade à direita até x=\tfrac{3}{2} e suba 2 para obter y=2 — ponto (\tfrac{3}{2},2) também na reta.

Passo 5

Determinar qual lado da reta corresponde a y>2x-1 usando um ponto-teste.
Escolha um ponto fácil que não esteja na reta, por exemplo o ponto origem (0,0). Isso é permitido porque (0,0)\neq(0,-1) (origem não está na reta). Agora verifique a desigualdade:
\text{Para }(0,0):\quad y = 0,\quad 2x-1 = 2\cdot 0 -1 = -1.
Como 0 > -1 é verdadeiro, o ponto (0,0) satisfaz y>2x-1. Isso garante que o lado da reta onde está a origem deve ser sombreado.

Passo 6

Interpretação geométrica e definição da região.
A região solicitada é o semiplano aberto (meio-plano) acima da reta y=2x-1. “Acima” aqui significa o conjunto dos pontos cuja ordenada y é maior que o valor dado por 2x-1 na mesma abscissa x. Como a desigualdade é estrita, a fronteira (a reta) não pertence à região.

Passo 7

Como sombrear no esboço final (etapas finais para o desenho).
  1. Trace a reta y=2x-1 como uma linha tracejada passando por (0,-1) e (\tfrac{1}{2},0).
  2. Marque o ponto-teste (0,0) (opcional no desenho) para lembrar que o lado que contém a origem é o que deve ser sombreado.
  3. Sombreie (ou pinte com lápis) todo o lado da reta que contém (0,0). Evite sombrear a própria reta (deixe-a tracejada e não preenchida), porque a desigualdade é estrita.
    Observação pedagógica: se a desigualdade fosse y\ge 2x-1, a reta seria desenhada contínua e também sombreada (inclui a fronteira).

Passo 8

Resumo final do procedimento — um checklist rápido para a prova:
  • Transforme > em = para obter a reta fronteira.
  • Ache interceptos e use a inclinação para traçar a reta.
  • Como é > (estrito), faça a reta tracejada.
  • Use um ponto-teste (por exemplo (0,0)) para decidir qual lado sombrear.
  • Sombreie o semiplano que satisfaz a desigualdade.

Resposta

A região é o semiplano aberto acima da reta y=2x-1: traçar a reta y=2x-1 em linha tracejada (não incluída) e sombrear o lado que contém (0,0).

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