Questão 4: (2.5 pontos)
Resolva a seguinte equação diferencial:
Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
.
O objetivo é encontrar a solução geralque satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo essa forma na homogênea obtemos a equação característica em
. Fazendo a substituição:
Resolvendo a equação quadrática:
é uma raiz dupla (multiplicidade 2). Quando a raiz
é dupla, a forma geral das soluções da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação não-homogênea. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados:
- Observação: o lado direito é o polinômio
, de grau 2. Pelo método, tentamos um polinômio de mesmo grau:
com coeficientes
a determinar.
- Justificativa: esse palpite é apropriado porque a parte não-homogênea é um polinômio e a solução homogênea não contém termos puramente polinomiais (ela é da forma exponencial
vezes polinômio), então não há “ressonância” que obrigue multiplicar por .
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e substituímos na equação para determinar
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo na equação original:
Agora expandimos e agrupamos termos por potências de
:
Passo 5
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
, que podemos ver como
Igualando coeficientes das potências de
obtemos o sistema para
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvendo:
- Da primeira equação segue
. - Substituindo
na segunda: dá então . - Substituindo
e na terceira:
daí
e
.
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).