Questão 4: (2.5 pontos)
Resolva a seguinte equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+4 y=4 x^{2}-6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+4 y=4 x^{2}-6.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,4x^{2}-6.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+4 y=0.
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo essa forma na homogênea obtemos a equação característica em r. Fazendo a substituição:
r^{2}+4r+4=0.
Resolvendo a equação quadrática:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=-2
é uma raiz dupla (multiplicidade 2). Quando a raiz r=-2 é dupla, a forma geral das soluções da homogênea é
y_{h}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação não-homogênea. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados:
  • Observação: o lado direito é o polinômio \,4x^{2}-6, de grau 2. Pelo método, tentamos um polinômio de mesmo grau:
y_{p}(x)=a x^{2}+b x+c,
com coeficientes a,b,c a determinar.
  • Justificativa: esse palpite é apropriado porque a parte não-homogênea é um polinômio e a solução homogênea não contém termos puramente polinomiais (ela é da forma exponencial e^{-2x} vezes polinômio), então não há “ressonância” que obrigue multiplicar por x.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p} e substituímos na equação para determinar a,b,c.
Derivadas:
y_{p}'(x)=2a x+b,
y_{p}''(x)=2a.
Substituindo na equação original:
y_{p}''+4y_{p}'+4y_{p} =2a+4(2a x+b)+4(a x^{2}+b x+c).
Agora expandimos e agrupamos termos por potências de x:
2a+8a x+4b+4a x^{2}+4b x+4c =4a x^{2}+(8a+4b)x+(2a+4b+4c).

Passo 5

Esse resultado deve ser igual ao lado direito \,4x^{2}-6, que podemos ver como
4x^{2}+0\cdot x-6.
Igualando coeficientes das potências de x obtemos o sistema para a,b,c:
  1. Coeficiente de x^{2}: \,4a=4.
  2. Coeficiente de x: \,8a+4b=0.
  3. Termo constante: \,2a+4b+4c=-6.
Resolvendo:
  • Da primeira equação segue \,a=1.
  • Substituindo a=1 na segunda: 8\cdot 1 +4b=0 4b=-8 então \,b=-2.
  • Substituindo a=1 e b=-2 na terceira:
2\cdot1+4(-2)+4c=-6 \quad\Rightarrow\quad 2-8+4c=-6 \quad\Rightarrow\quad -6+4c=-6
daí 4c=0 e \,c=0.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=x^{2}-2x.

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-2x}+x^{2}-2x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

\displaystyle y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-2x}+x^{2}-2x

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