Exercício 2. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x y<0\right}
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x y<0\right}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A desigualdade é
. - O universo é o plano cartesiano
.
O que exatamente é pedido: representar graficamente (desenhar/esboçar) todos os pontosdo plano que satisfazem .
Passo 2
Entendendo a desigualdade
: precisamos saber quando o produto de dois números reais é negativo. Regra básica (explicando devagar):
- Se dois números têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), o produto é positivo.
- Se os dois têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), o produto é negativo.
- Se algum dos dois é zero, o produto é zero.
Aplicando ao nosso caso: para
o produto deve ser negativo, logo
e
têm sinais opostos. Em símbolos lógicos:
Passo 3
Interpretando as regiões do plano: as duas alternativas acima correspondem a dois quadrantes do plano cartesiano:
- A condição
e descreve o quarto quadrante (QIV). - A condição
e descreve o segundo quadrante (QII).
Portanto a região pedida é a união das duas regiões interiores desses quadrantes.
Passo 4
Observação sobre os eixos: quando
ou
temos
, que não satisfaz
. Logo as retas
(eixo
) e
(eixo
) não pertencem à região — elas são fronteira e devem ficar excluídas (normalmente desenhadas com traço ou sem preenchimento).
Passo 5
Exemplos para checar e para ajudar no desenho:
- Ponto
: , logo está na região (fica em QII). - Ponto
: , logo está na região (fica em QIV). - Ponto
: , não pertence (QI). - Ponto
: , não pertence (sobre o eixo ).
Passo 6
Como esboçar na prova (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e perpendiculares e marque a origem. - Trace (ou desenhe) as linhas dos eixos como fronteira, mas deixe claro que elas não estão incluídas (p.ex. desenhar os eixos normalmente e não preenchê-los).
- Pinte ou sombreie a região do segundo quadrante onde
e (acima do eixo e à esquerda do eixo ). - Pinte ou sombreie também a região do quarto quadrante onde
e (abaixo do eixo e à direita do eixo ). - Não pinte os quadrantes primeiro e terceiro (esses têm
) e não pinte os eixos.
Dica rápida para prova: escreva ao lado do esboço as condições
e
para justificar o preenchimento.
Passo 7
Caracterização topológica curta (útil para entender melhor): a região é um conjunto aberto em
e tem duas componentes conexas separadas — exatamente QII e QIV.
Resposta
A região é a união dos pontos do segundo e do quarto quadrantes, ou seja
com as retas
e
excluídas.