Exercício 2. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x y<0\right}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, xy<0\}.
Informações dadas:
  • A desigualdade é xy<0.
  • O universo é o plano cartesiano \mathbb{R}^2.
    O que exatamente é pedido: representar graficamente (desenhar/esboçar) todos os pontos (x,y) do plano que satisfazem xy<0.

Passo 2

Entendendo a desigualdade xy<0: precisamos saber quando o produto de dois números reais é negativo. Regra básica (explicando devagar):
  • Se dois números têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), o produto é positivo.
  • Se os dois têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), o produto é negativo.
  • Se algum dos dois é zero, o produto é zero.
Aplicando ao nosso caso: para xy<0 o produto deve ser negativo, logo x e y têm sinais opostos. Em símbolos lógicos:
xy<0 \iff (x>0 \land y<0)\\ \lor\\ (x<0 \land y>0).

Passo 3

Interpretando as regiões do plano: as duas alternativas acima correspondem a dois quadrantes do plano cartesiano:
  • A condição x>0 e y<0 descreve o quarto quadrante (QIV).
  • A condição x<0 e y>0 descreve o segundo quadrante (QII).
    Portanto a região pedida é a união das duas regiões interiores desses quadrantes.

Passo 4

Observação sobre os eixos: quando x=0 ou y=0 temos xy=0, que não satisfaz xy<0. Logo as retas x=0 (eixo y) e y=0 (eixo x) não pertencem à região — elas são fronteira e devem ficar excluídas (normalmente desenhadas com traço ou sem preenchimento).

Passo 5

Exemplos para checar e para ajudar no desenho:
  • Ponto (-1,2): (-1)\cdot2=-2<0, logo está na região (fica em QII).
  • Ponto (1,-3): 1\cdot(-3)=-3<0, logo está na região (fica em QIV).
  • Ponto (1,2): 1\cdot2=2>0, não pertence (QI).
  • Ponto (0,5): 0\cdot5=0, não pertence (sobre o eixo y).

Passo 6

Como esboçar na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos x e y perpendiculares e marque a origem.
  2. Trace (ou desenhe) as linhas dos eixos como fronteira, mas deixe claro que elas não estão incluídas (p.ex. desenhar os eixos normalmente e não preenchê-los).
  3. Pinte ou sombreie a região do segundo quadrante onde x<0 e y>0 (acima do eixo x e à esquerda do eixo y).
  4. Pinte ou sombreie também a região do quarto quadrante onde x>0 e y<0 (abaixo do eixo x e à direita do eixo y).
  5. Não pinte os quadrantes primeiro e terceiro (esses têm xy>0) e não pinte os eixos.
Dica rápida para prova: escreva ao lado do esboço as condições \{(x,y): x<0,y>0\} e \{(x,y): x>0,y<0\} para justificar o preenchimento.

Passo 7

Caracterização topológica curta (útil para entender melhor): a região é um conjunto aberto em \mathbb{R}^2 e tem duas componentes conexas separadas — exatamente QII e QIV.

Resposta

A região é a união dos pontos do segundo e do quarto quadrantes, ou seja
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\\ x<0,\\ y>0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\\ x>0,\\ y<0\},
com as retas x=0 e y=0 excluídas.

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