Exercício 5. Escreva explicitamente:
y^{\prime \prime}(x)

Passo 1

O enunciado pede: "Escreva explicitamente: y''(x)".
Informações dadas: nenhuma expressão para y(x) foi fornecida no enunciado.
O que é pedido: obter uma expressão explícita para a segunda derivada \,y''(x)\, (ou seja, escrever y''(x) em termos de x, possivelmente envolvendo y quando a relação for implícita).

Passo 2

Por que não dá para calcular diretamente: para calcular \,y''(x)\, é imprescindível conhecer a função y(x) ou uma relação que envolva x e y (por exemplo uma equação implícita). Sem essa informação não existe uma expressão única para \,y''(x). Vou, no entanto, ensinar passo a passo como se calcula \,y''(x) em vários casos práticos, assim você consegue aplicar na prova assim que tiver a forma de y.

Passo 3

Definição e notação (a base do que vamos usar).
  • A derivada primeira é \,y'(x)=\dfrac{dy}{dx}\,. Ela mede a taxa de variação de y em relação a x.
  • A segunda derivada é \,y''(x)=\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\bigl(y'(x)\bigr)\,. Ela mede a taxa de variação da taxa de variação (curvatura).
    Sempre que eu escrever uma regra, vou explicar o que cada termo significa.

Passo 4

Regras básicas de diferenciação (ferramentas que você precisa conhecer)
  • Regra da soma e do múltiplo: se u(x) e v(x) são funções então \,(u+v)'=u'+v' e (c\cdot u)'=c\cdot u' para constante c.
  • Regra do poder (polinômio): \dfrac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n x^{n-1} para n inteiro (vale também para n real).
  • Derivadas de funções usuais:
    \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{ax}\bigr)=a e^{ax},
    \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\dfrac{1}{x} (para x>0),
    \dfrac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x, \dfrac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-\sin x.
  • Regra do produto (para duas funções u(x) e v(x)): (u v)'=u'v+u v'.Aplicando a derivação outra vez, a segunda derivada do produto é (u v)'' = u'' v + 2 u' v' + u v''.Aqui u',u'' são as derivadas de u e v',v'' as de v.
  • Regra do quociente (para u/v com v\neq0): \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2}.Para a segunda derivada usa-se derivar essa expressão (fica um pouco mais longo).
  • Regra da cadeia (composição): se y=f(g(x)) então y' = f'(g(x))\cdot g'(x).Derivando de novo (regra para segunda derivada em composição): y'' = f''(g(x))\bigl(g'(x)\bigr)^2 \;+\; f'(g(x))\cdot g''(x).Na prática: primeiro deriva-se a camada externa, multiplica-se pela derivada da interna; para a segunda derivada aparece um termo com f'' e (g')^2 e outro com f' e g''.

Passo 5

Exemplo 1 — caso simples (polinômio). Seja \,y(x)=x^3.
Calcule y' passo a passo usando a regra do poder: \,y'(x)=3x^2.
Agora y''(x) é a derivada de y': \,y''(x)=\dfrac{d}{dx}(3x^2)=3\cdot 2 x = 6x.
Conclusão: para y(x)=x^3 temos \,y''(x)=6x.

Passo 6

Exemplo 2 — exponencial com constante no expoente. Seja \,y(x)=e^{2x}.
Primeira derivada: \,y'(x)=2 e^{2x} (regra da cadeia simples: deriva o expoente 2x que dá 2).
Segunda derivada: \,y''(x)=\dfrac{d}{dx}(2 e^{2x})=2\cdot 2 e^{2x}=4 e^{2x}.

Passo 7

Exemplo 3 — função trigonométrica composta. Seja \,y(x)=\sin(3x).
Primeira derivada (cadeia): \,y'(x)=\cos(3x)\cdot 3 = 3\cos(3x).
Segunda derivada: \,y''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(3\cos(3x)\bigr)=3\cdot(-\sin(3x))\cdot 3 = -9\sin(3x).

Passo 8

Exemplo 4 — produto de funções. Seja \,y(x)=x^2 e^{x}.
Primeiro calcule y' com a regra do produto:
y' = (x^2)' e^{x} + x^2 (e^{x})' = 2x e^{x} + x^2 e^{x} = e^{x}(2x + x^2).
Agora a segunda derivada: podemos derivar a forma e^{x}(2x + x^2) também por produto:
y'' = (e^{x})'(2x+x^2) + e^{x}(2 + 2x) = e^{x}(2x+x^2) + e^{x}(2+2x).
Agrupando:
y''= e^{x}\bigl(2x+x^2+2+2x\bigr)= e^{x}\bigl(x^2+4x+2\bigr).

Passo 9

Exemplo 5 — potência composta (cadeia). Seja \,y(x)=(3x+1)^5.
Primeira derivada: \,y'(x)=5(3x+1)^4\cdot 3 = 15(3x+1)^4.
Segunda derivada: derivando 15(3x+1)^4:
y''(x)=15\cdot 4 (3x+1)^3 \cdot 3 = 180(3x+1)^3.

Passo 10

Exemplo 6 — diferenciação implícita. Considere a circunferência \,x^2+y^2=1 (aqui y depende de x embora não esteja isolada).
  • Diferencie ambos os lados em relação a x: \,2x + 2y\,y' = 0.
  • Isolando y': \,y' = -\dfrac{x}{y} (atenção: isso é válido quando y\neq0).
  • Agora derive y' para obter y''. Use quociente ou produto: y' = -x y^{-1}. Derivando, y'' = -\bigl(1\cdot y^{-1} + x\cdot(-1) y^{-2} y'\bigr) = -y^{-1} + x y^{-2} y'.Substitua y'=-x/y: y'' = -\frac{1}{y} + x\frac{1}{y^{2}}\left(-\frac{x}{y}\right) = -\frac{1}{y} - \frac{x^2}{y^{3}} = -\frac{y^2 + x^2}{y^{3}}.Usando x^2+y^2=1 simplifica: y'' = -\frac{1}{y^{3}}.Então para pontos da circunferência com y\neq0, \,y''(x) = -\dfrac{1}{y^3}\, (expressão em termos de y; se desejar em x substitua y=\pm\sqrt{1-x^2}).

Passo 11

Resumo prático para a sua prova (como aplicar rápido):
  • Se y(x) está explícita (tipo polinômio, exponencial, trig, etc.), calcule y' usando as regras acima e depois derive y' para obter y''.
  • Se y aparece como produto ou quociente, use as regras do produto/quociente; para segunda derivada use a fórmula expandida (uv)''=u''v+2u'v'+uv''.
  • Se y aparece dentro de outra função (composição), aplique a regra da cadeia; para segunda derivada lembre da fórmula com f''(g)(g')^2 + f'(g)g''.
  • Se a relação é implícita, diferencie implicitamente (derive ambos os lados), resolva para y' e depois derive novamente substituindo y' quando aparecer.

Resposta

Não é possível determinar y''(x) porque a função y(x) (ou uma relação entre x e y) não foi fornecida no enunciado.

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