Exercício 5. Escreva explicitamente:
Passo 1
O enunciado pede: "Escreva explicitamente:
".
Informações dadas: nenhuma expressão para foi fornecida no enunciado.
O que é pedido: obter uma expressão explícita para a segunda derivada (ou seja, escrever
em termos de
, possivelmente envolvendo
quando a relação for implícita).
Informações dadas: nenhuma expressão para
O que é pedido: obter uma expressão explícita para a segunda derivada
Passo 2
Por que não dá para calcular diretamente: para calcular
é imprescindível conhecer a função
ou uma relação que envolva
e
(por exemplo uma equação implícita). Sem essa informação não existe uma expressão única para
. Vou, no entanto, ensinar passo a passo como se calcula
em vários casos práticos, assim você consegue aplicar na prova assim que tiver a forma de
.
Passo 3
Definição e notação (a base do que vamos usar).
- A derivada primeira é
. Ela mede a taxa de variação de em relação a . - A segunda derivada é
. Ela mede a taxa de variação da taxa de variação (curvatura).
Sempre que eu escrever uma regra, vou explicar o que cada termo significa.
Passo 4
Regras básicas de diferenciação (ferramentas que você precisa conhecer)
- Regra da soma e do múltiplo: se
e são funções então e para constante . - Regra do poder (polinômio):
para inteiro (vale também para real). - Derivadas de funções usuais:
,
(para ),
, . - Regra do produto (para duas funções
e ): Aplicando a derivação outra vez, a segunda derivada do produto é Aqui são as derivadas de e as de . - Regra do quociente (para
com ): Para a segunda derivada usa-se derivar essa expressão (fica um pouco mais longo). - Regra da cadeia (composição): se
então Derivando de novo (regra para segunda derivada em composição): Na prática: primeiro deriva-se a camada externa, multiplica-se pela derivada da interna; para a segunda derivada aparece um termo com e e outro com e .
Passo 5
Exemplo 1 — caso simples (polinômio). Seja
.
Calcule passo a passo usando a regra do poder:
.
Agora é a derivada de
:
Conclusão: para temos
.
Calcule
Agora
Conclusão: para
Passo 6
Exemplo 2 — exponencial com constante no expoente. Seja
.
Primeira derivada: (regra da cadeia simples: deriva o expoente
que dá 2).
Segunda derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Exemplo 3 — função trigonométrica composta. Seja
.
Primeira derivada (cadeia):
Segunda derivada:
Primeira derivada (cadeia):
Segunda derivada:
Passo 8
Exemplo 4 — produto de funções. Seja
.
Primeiro calcule com a regra do produto:
Primeiro calcule
Agora a segunda derivada: podemos derivar a forma
também por produto:
Agrupando:
Passo 9
Exemplo 5 — potência composta (cadeia). Seja
.
Primeira derivada:
Segunda derivada: derivando :
Primeira derivada:
Segunda derivada: derivando
Passo 10
Exemplo 6 — diferenciação implícita. Considere a circunferência
(aqui
depende de
embora não esteja isolada).
- Diferencie ambos os lados em relação a
: . - Isolando
: (atenção: isso é válido quando ). - Agora derive
para obter . Use quociente ou produto: . Derivando, Substitua : Usando simplifica: Então para pontos da circunferência com , (expressão em termos de ; se desejar em substitua ).
Passo 11
Resumo prático para a sua prova (como aplicar rápido):
- Se
está explícita (tipo polinômio, exponencial, trig, etc.), calcule usando as regras acima e depois derive para obter . - Se
aparece como produto ou quociente, use as regras do produto/quociente; para segunda derivada use a fórmula expandida . - Se
aparece dentro de outra função (composição), aplique a regra da cadeia; para segunda derivada lembre da fórmula com . - Se a relação é implícita, diferencie implicitamente (derive ambos os lados), resolva para
e depois derive novamente substituindo quando aparecer.
Resposta
Não é possível determinar
porque a função
(ou uma relação entre
e
) não foi fornecida no enunciado.