Exercício 8. Escreva separadamente os termos:
Passo 1
O enunciado dá estes três termos e pede que sejam escritos separadamente:
Vou trabalhar com cada um deles (escrever de forma explícita/expandida) e mostrar uma relação útil entre os dois primeiros.
Passo 2
Primeiro, lembrar a notação:
Multiplicar uma função (como
ou
) por
ou
significa simplesmente escalar essas derivadas pelo fator indicado.
Passo 3
Escrever explicitamente o primeiro termo distribuindo o fator:
Isto é apenas álgebra: multiplicar cada parcela de
por
.
Passo 4
O segundo termo já está numa forma simples; escrevê‑lo explicitamente:
Aqui não há distribuição a fazer além de reconhecer que o coeficiente
multiplica a derivada primeira.
Passo 5
O terceiro termo também é apenas um escalar (dependendo de
) multiplicando
:
Ou seja, é uma constante (em relação a
) que multiplica a função
.
Passo 6
Agora uma observação muito prática (útil em equações diferenciais): aplicar a regra do produto à derivada de
. A regra do produto diz que, para duas funções
e
,
Tomando
e
, temos
e
. Portanto
Rearranjando os termos dessa igualdade obtém‑se precisamente a soma dos dois primeiros termos do enunciado:
Passo 7
Resumo do que foi feito e por que é útil: escrevemos cada termo de forma explícita (distribuindo quando faz sentido) e mostramos que os dois primeiros termos juntos são a derivada de
. Isto costuma simplificar o tratamento de equações diferenciais que envolvem esses termos.