Exercício 8. Escreva separadamente os termos:
\begin{gathered} \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime} \\\\ -2 x y^{\prime} \\\ \ell(\ell+1) y \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá estes três termos e pede que sejam escritos separadamente:
\begin{gathered} \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime},\\\\ -2 x y^{\prime},\\\ \ell(\ell+1) y. \end{gathered}
Vou trabalhar com cada um deles (escrever de forma explícita/expandida) e mostrar uma relação útil entre os dois primeiros.

Passo 2

Primeiro, lembrar a notação:
y'=\frac{dy}{dx}\quad\text{é a derivada primeira de }y(x), \qquad y''=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\quad\text{é a derivada segunda de }y(x).éé
Multiplicar uma função (como 1-x^{2} ou -2x) por y' ou y'' significa simplesmente escalar essas derivadas pelo fator indicado.

Passo 3

Escrever explicitamente o primeiro termo distribuindo o fator:
\left(1-x^{2}\right)y'' = 1\cdot y'' - x^{2}\cdot y'' = y'' - x^{2}y''.
Isto é apenas álgebra: multiplicar cada parcela de 1-x^{2} por y''.

Passo 4

O segundo termo já está numa forma simples; escrevê‑lo explicitamente:
-2x\,y' = -2x\,y'.
Aqui não há distribuição a fazer além de reconhecer que o coeficiente -2x multiplica a derivada primeira.

Passo 5

O terceiro termo também é apenas um escalar (dependendo de \ell) multiplicando y:
\ell(\ell+1)\,y = \ell(\ell+1)\,y.
Ou seja, é uma constante (em relação a x) que multiplica a função y(x).

Passo 6

Agora uma observação muito prática (útil em equações diferenciais): aplicar a regra do produto à derivada de (1-x^{2})y'. A regra do produto diz que, para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Tomando u(x)=1-x^{2} e v(x)=y', temos u'(x)=-2x e v'(x)=y''. Portanto
\frac{d}{dx}\big[(1-x^{2})y'\big]=(-2x)\,y'+(1-x^{2})\,y''.
Rearranjando os termos dessa igualdade obtém‑se precisamente a soma dos dois primeiros termos do enunciado:
(1-x^{2})y''-2x\,y'=\frac{d}{dx}\big[(1-x^{2})y'\big].

Passo 7

Resumo do que foi feito e por que é útil: escrevemos cada termo de forma explícita (distribuindo quando faz sentido) e mostramos que os dois primeiros termos juntos são a derivada de (1-x^{2})y'. Isto costuma simplificar o tratamento de equações diferenciais que envolvem esses termos.

Resposta

(1-x^{2})y''-2x\,y'=\frac{d}{dx}\big[(1-x^{2})y'\big]
(1-x^{2})y''=y''-x^{2}y''
-2x\,y'=-2x\,y'
\ell(\ell+1)\,y=\ell(\ell+1)\,y

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