Exercício 4. Agora faremos a mudança:
x=\cos \theta
Mostre que a equação angular, na variável x é:
\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} \Theta}{d x^{2}}-2 x \frac{d \Theta}{d x}+\lambda \Theta=0

Passo 1

O enunciado nos dá a mudança de variável
x=\cos\theta
e pede para mostrar que, após essa mudança, a equação angular na nova variável x fica
\left(1-x^{2}\right)\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}-2x\frac{d\Theta}{dx}+\lambda\Theta=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A dependência original é \Theta=\Theta(\theta) e queremos reescrevê-la como função de x, isto é, \Theta(\theta)=\Theta(x(\theta)).
  • A relação entre x e \theta é x=\cos\theta.
  • A equação original envolvendo derivadas em \theta não foi escrita no enunciado, então usarei a forma habitual da equação angular que leva à equação de Legendre:
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}+\cot\theta\frac{d\Theta}{d\theta}+\lambda\Theta=0.
(essa é a equação angular padrão cuja transformação por x=\cos\theta leva à equação dada).

Passo 2

Explicar e aplicar a regra da cadeia para a primeira derivada.
Regra da cadeia (forma usada aqui): se \Theta depende de x e x depende de \theta, então
\frac{d\Theta}{d\theta}=\frac{d\Theta}{dx}\cdot\frac{dx}{d\theta}.
No nosso caso, como x=\cos\theta, calculamos
\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta.
Logo, usando a regra da cadeia,
\frac{d\Theta}{d\theta}=\frac{d\Theta}{dx}\cdot(-\sin\theta)=-\sin\theta\frac{d\Theta}{dx}.
Comentário didático curto: essa fórmula significa que para cada pequeno aumento em \theta a variação de \Theta é a variação de \Theta por unidade de x multiplicada pela variação de x por unidade de \theta.

Passo 3

Calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}} aplicando a derivação sobre a expressão obtida no Passo 2.
Partimos de
\frac{d\Theta}{d\theta}=-\sin\theta\frac{d\Theta}{dx}.
Derivando em \theta novamente e aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}=\frac{d}{d\theta}\!\left(-\sin\theta\frac{d\Theta}{dx}\right).
Usando a regra do produto \dfrac{d}{d\theta}(u v)=u'v+uv', com u=-\sin\theta e v=\dfrac{d\Theta}{dx}, temos
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}=(-\cos\theta)\frac{d\Theta}{dx}+(-\sin\theta)\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{d\Theta}{dx}\right).
Agora aplicamos a regra da cadeia na derivada \dfrac{d}{d\theta}\!\left(\dfrac{d\Theta}{dx}\right): como \dfrac{d\Theta}{dx} é função de x e x depende de \theta,
\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{d\Theta}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{d\Theta}{dx}\right)\cdot\frac{dx}{d\theta}=\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}\cdot\frac{dx}{d\theta}.
Substituindo \dfrac{dx}{d\theta}=-\sin\theta obtemos
\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{d\Theta}{dx}\right)=-\sin\theta\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}.
Voltando à expressão para \dfrac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}:
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}=(-\cos\theta)\frac{d\Theta}{dx}+(-\sin\theta)\left(-\sin\theta\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}\right).
Simplificando os sinais:
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}=-\cos\theta\frac{d\Theta}{dx}+\sin^{2}\theta\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}.

Passo 4

Transformar o termo \cot\theta\,\dfrac{d\Theta}{d\theta} em derivadas em x.
Lembrando que \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} e usando a expressão da primeira derivada do Passo 2:
\cot\theta\frac{d\Theta}{d\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\left(-\sin\theta\frac{d\Theta}{dx}\right)=-\cos\theta\frac{d\Theta}{dx}.

Passo 5

Somar os termos \dfrac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}+\cot\theta\dfrac{d\Theta}{d\theta} e acrescentar o termo \lambda\Theta da equação original.
Usando os resultados dos Passos 3 e 4:
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}+\cot\theta\frac{d\Theta}{d\theta} =\left(-\cos\theta\frac{d\Theta}{dx}+\sin^{2}\theta\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}\right)+\left(-\cos\theta\frac{d\Theta}{dx}\right).
Agrupando:
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}+\cot\theta\frac{d\Theta}{d\theta} =\sin^{2}\theta\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}-2\cos\theta\frac{d\Theta}{dx}.
Portanto a equação original
\frac{d^{2}\Theta}{d\theta^{2}}+\cot\theta\frac{d\Theta}{d\theta}+\lambda\Theta=0
se torna
\sin^{2}\theta\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}-2\cos\theta\frac{d\Theta}{dx}+\lambda\Theta=0.

Passo 6

Fazer a substituição final x=\cos\theta e usar \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta para escrever tudo em termos de x.
Substituindo \cos\theta=x e \sin^{2}\theta=1-x^{2} na equação do Passo 5 obtemos
(1-x^{2})\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}-2x\frac{d\Theta}{dx}+\lambda\Theta=0,
que é exatamente a forma pedida.

Resposta

\left(1-x^{2}\right)\frac{d^{2}\Theta}{dx^{2}}-2x\frac{d\Theta}{dx}+\lambda\Theta=0

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