Exercício 4. Agora faremos a mudança:
Mostre que a equação angular, na variável
é:
Passo 1
O enunciado nos dá a mudança de variável
e pede para mostrar que, após essa mudança, a equação angular na nova variável
fica
Informações relevantes fornecidas:
- A dependência original é
e queremos reescrevê-la como função de , isto é, . - A relação entre
e é . - A equação original envolvendo derivadas em
não foi escrita no enunciado, então usarei a forma habitual da equação angular que leva à equação de Legendre:
(essa é a equação angular padrão cuja transformação por
leva à equação dada).
Passo 2
Explicar e aplicar a regra da cadeia para a primeira derivada.
Regra da cadeia (forma usada aqui): se depende de
e
depende de
, então
Regra da cadeia (forma usada aqui): se
No nosso caso, como
, calculamos
Logo, usando a regra da cadeia,
Comentário didático curto: essa fórmula significa que para cada pequeno aumento em
a variação de
é a variação de
por unidade de
multiplicada pela variação de
por unidade de
.
Passo 3
Calcular a segunda derivada
aplicando a derivação sobre a expressão obtida no Passo 2.
Partimos de
Partimos de
Derivando em
novamente e aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Usando a regra do produto
, com
e
, temos
Agora aplicamos a regra da cadeia na derivada
: como
é função de
e
depende de
,
Substituindo
obtemos
Voltando à expressão para
:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Transformar o termo
em derivadas em
.
Lembrando que e usando a expressão da primeira derivada do Passo 2:
Lembrando que
Passo 5
Somar os termos
e acrescentar o termo
da equação original.
Usando os resultados dos Passos 3 e 4:
Usando os resultados dos Passos 3 e 4:
Agrupando:
Portanto a equação original
se torna
Passo 6
Fazer a substituição final
e usar
para escrever tudo em termos de
.
Substituindo e
na equação do Passo 5 obtemos
Substituindo
que é exatamente a forma pedida.