Exercício 5: Escreva 1, \overline{43} como uma fração.
Passo 1
O enunciado pede para escrever 1,\overline{43} como uma fração.
Informações dadas: o número tem parte inteira 1 e a parte decimal é periódica com o bloco 43 repetindo-se indefinidamente, ou seja, o número é 1,434343\ldots.
Passo 2
Vamos chamar esse número de x. Escrevo:
x = 1,434343\ldots
A ideia é usar uma equação algébrica que permita cancelar a parte decimal repetida. Como o bloco repetido tem comprimento 2 (os dígitos “4” e “3”), multiplicamos por 10^{2}=100 para deslocar a vírgula duas casas e alinhar as repetições.
Passo 3
Multiplicando por 100 obtemos:
100x = 143,434343\ldots
Agora compare 100x e x: ambas as escritas têm a mesma sequência decimal periódica ",434343\ldots". Subtraindo x de 100x a parte periódica cancela:
Passo 4
Faço a subtração:
100x - x = 143,434343\ldots - 1,434343\ldots
O lado esquerdo é 99x. No lado direito a parte decimal infinita cancela e fica apenas:
99x = 142.
Passo 5
Isolando x temos:
x = \frac{142}{99}.
Verifico se essa fração pode ser simplificada: 142 = 2\cdot71 e 99 = 3\cdot3\cdot11. Não há fatores comuns além de 1, logo a fração já está irredutível.
Passo 6
Para entender melhor, posso ver \dfrac{142}{99} como número misto:
\frac{142}{99} = 1 + \frac{43}{99},
pois 142 = 99\cdot1 + 43. Isso confirma que a parte inteira é 1 e a parte fracionária corresponde à repetição decimal.