Verifique se as séries convergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^{n} \frac{n}{n+1}. (Teste de Divergência para Séries.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-2)^{n}\frac{n}{n+1}
converge ou diverge.
Informações dadas: o termo geral da série é
a_n = (-2)^{n}\frac{n}{n+1}.
O enunciado indica usar o “Teste de Divergência para Séries” (ou seja, analisar o comportamento do termo geral a_n quando n\to\infty).

Passo 2

Explicação do Teste de Divergência (ou Teste do Termo Geral):
Se a série \sum a_n converge, então necessariamente
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Logo, a contrapartida prática é: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 ou não existe, a série diverge.
Exemplo rápido para fixar: a série \sum 1 tem termo geral a_n=1 com \lim a_n=1\neq0, então diverge. Atenção: o teste é apenas necessário, não suficiente — mesmo que \lim a_n=0 a série pode divergir (por exemplo, a série harmônica \sum 1/n tem termos que vão a zero e ainda assim diverge).

Passo 3

Vamos analisar o termo geral dado:
a_n = (-2)^{n}\frac{n}{n+1}.
Primeiro observação sobre o módulo do termo:
|a_n| = 2^{n}\frac{n}{n+1}.
Para n\ge 1 temos
\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},
porque n+1\le 2(n) para n\ge1 (ou simplesmente avaliar a expressão para n=1 e ver que para n maiores o quociente só aumenta). Portanto
|a_n| \ge 2^{n}\cdot\frac{1}{2} = 2^{n-1}.

Passo 4

Como 2^{n-1}\to\infty quando n\to\infty, isso implica que |a_n|\to\infty. Em particular |a_n| não tende a zero, então a_n também não tende a zero (o limite não existe e certamente não é zero). Pelo Teste de Divergência, se o termo geral não tende a zero a série \sum a_n diverge. Portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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