Verifique se as séries convergem:
. (Teste de Divergência para Séries.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas: o termo geral da série é
Informações dadas: o termo geral da série é
O enunciado indica usar o “Teste de Divergência para Séries” (ou seja, analisar o comportamento do termo geral
quando
).
Passo 2
Explicação do Teste de Divergência (ou Teste do Termo Geral):
Se a série converge, então necessariamente
Se a série
Logo, a contrapartida prática é: se
ou não existe, a série diverge.
Exemplo rápido para fixar: a série tem termo geral
com
, então diverge. Atenção: o teste é apenas necessário, não suficiente — mesmo que
a série pode divergir (por exemplo, a série harmônica
tem termos que vão a zero e ainda assim diverge).
Exemplo rápido para fixar: a série
Passo 3
Vamos analisar o termo geral dado:
Primeiro observação sobre o módulo do termo:
Para
temos
porque
para
(ou simplesmente avaliar a expressão para
e ver que para
maiores o quociente só aumenta). Portanto
Passo 4
Como
quando
, isso implica que
. Em particular
não tende a zero, então
também não tende a zero (o limite não existe e certamente não é zero). Pelo Teste de Divergência, se o termo geral não tende a zero a série
diverge. Portanto a série diverge.
Resposta
A série diverge.