Exercício 4: Para quais valores de x a série \sum_{k=0}^{\infty}(3 \operatorname{sen}(x))^{k}. converge? Mesma pergunta para diverge! Escreva a soma da série no primeiro caso.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a série
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(3\operatorname{sen}(x)\bigr)^k.
As perguntas são:
  • Para quais valores de x essa série converge?
  • Para quais valores de x ela diverge?
  • No caso em que converge, escrever a soma da série.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A série está escrita em termos de x real (assumimos x\in\mathbb{R}).
  • Cada termo é \bigl(3\operatorname{sen}(x)\bigr)^k, com k indo de 0 a \infty.
  • Não há outras restrições no enunciado, então devemos considerar todos os x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo o tipo de série e o critério de convergência (aula rápida e prática).
Considere a série geométrica infinita genérica
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k},
onde r é um número real (ou complexo). Vamos ver quando essa série converge e qual é sua soma quando converge.
  1. Soma parcial e expressão útil. Para r\neq 1 a soma parcial S_n (somando de k=0 até k=n) é
S_n=\sum_{k=0}^{n} r^{k}=\frac{1-r^{\,n+1}}{1-r}.
Essa fórmula vem de multiplicar a soma por (1-r) e simplificar; eu explico rapidinho: escrevendo S_n=1+r+\cdots+r^n e rS_n=r+r^2+\cdots+r^{n+1}, subtraindo obtemos (1-r)S_n=1-r^{n+1}, daí a fórmula.
  1. Limite quando n\to\infty. Se |r|<1, então r^{n+1}\to 0 quando n\to\infty. Assim
\lim_{n\to\infty} S_n=\frac{1}{1-r}.
Logo, para |r|<1 a série converge e sua soma é \dfrac{1}{1-r}.
  1. Se |r|\ge 1, a série diverge:
  • Se |r|>1, os termos r^k não tendem a zero e crescem em módulo, logo a soma parcial explode (não converge).
  • Se r=1, os termos são todos 1 e a soma parcial é n+1\to\infty.
  • Se r=-1, os termos são 1,-1,1,-1,\dots e as somas parciais oscilam (não têm limite). Em todos esses casos a série não converge.
Resumo prático: a série geométrica \sum_{k=0}^\infty r^k converge exatamente quando |r|<1 e então
\sum_{k=0}^\infty r^k=\frac{1}{1-r}.

Passo 3

Aplicando o critério ao nosso caso.
Na série do enunciado o “razão” é
r=3\operatorname{sen}(x).
Pelo passo anterior, a série converge precisamente quando
\bigl|3\operatorname{sen}(x)\bigr|<1,
ou seja
\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|<\tfrac{1}{3}.
E diverge quando \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\ge\tfrac{1}{3}. Notar que os casos de igualdade correspondem a 3\operatorname{sen}(x)=\pm1, que dão r=\pm1 e, como vimos, esses casos fazem a série divergir.

Passo 4

Resolver a desigualdade \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|<\tfrac{1}{3} explicitamente (aulasinha de trigonometria prática).
Defina
\alpha=\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr),
onde 0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}. As equações \operatorname{sen}(x)=\pm\tfrac{1}{3} têm soluções bem conhecidas:
  • \operatorname{sen}(x)=\tfrac{1}{3} em x=\alpha+2\pi n e x=\pi-\alpha+2\pi n.
  • \operatorname{sen}(x)=-\tfrac{1}{3} em x=-\alpha+2\pi n e x=\pi+\alpha+2\pi n.
Agora, entre essas soluções, nos intervalos centrados em múltiplos inteiros de \pi a função seno fica entre -\tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{3}. Uma forma compacta e limpa de descrever o conjunto onde |\operatorname{sen}(x)|<\tfrac{1}{3} é:
x\in\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\bigl(n\pi-\alpha,\;n\pi+\alpha\bigr),
porque para cada n\in\mathbb{Z} a função \operatorname{sen}(x) tem valor 0 em x=n\pi e atinge \pm\tfrac{1}{3} nas bordas n\pi\pm\alpha; dentro desse intervalo o valor absoluto do seno é menor que \tfrac{1}{3}. As bordas (quando x=n\pi\pm\alpha) correspondem exatamente ao caso |\operatorname{sen}(x)|=\tfrac{1}{3}, que devemos excluir (pois aí r=\pm1 e a série diverge).
Portanto, a descrição explícita dos x de convergência é essa união de intervalos abertos de raio \alpha em torno de cada múltiplo de \pi.

Passo 5

Escrever a soma quando a série converge.
Quando \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|<\tfrac{1}{3} temos r=3\operatorname{sen}(x) com |r|<1. Assim, pelo resultado do Passo 2,
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(3\operatorname{sen}(x)\bigr)^k=\frac{1}{1-3\operatorname{sen}(x)}.
Essa expressão é válida exatamente para os x que satisfazem \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|<\tfrac{1}{3}. Nos pontos onde \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\ge\tfrac{1}{3} a série diverge (incluindo os casos limites em que a razão é 1 ou -1).

Resposta

Converge para: x\in\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\bigl(n\pi-\alpha,\;n\pi+\alpha\bigr), onde \alpha=\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr).
Diverge para: x\in\mathbb{R} tais que \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\ge\tfrac{1}{3} (equivalente ao complemento do conjunto de convergência acima).
Soma (quando converge): \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(3\operatorname{sen}(x)\bigr)^k=\frac{1}{1-3\operatorname{sen}(x)}.

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