Exercício 2. Escreva os quatro primeiros elementos das sequências e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros elementos da sequência e (2) determinar se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, achar o seu limite. Vou interpretar a sequência no sentido usual, isto é, com
, porque assim faz sentido falar dos “quatro primeiros” termos.
Passo 2
Vamos obter o primeiro termo substituindo
na expressão de
. Substituindo e simplificando:
Passo 3
Agora o segundo termo com
. Substituímos
e simplificamos:
Passo 4
Terceiro termo com
. Substituímos
e simplificamos:
Passo 5
Quarto termo com
. Substituímos
e simplificamos:
Passo 6
Resumo dos quatro primeiros termos:
,
,
,
. (Esses são os quatro primeiros elementos pedididos.)
Passo 7
Agora vamos estudar a convergência quando
. A ideia prática para limites de frações de polinômios é comparar os graus (potências) de
no numerador e no denominador. Aqui ambos têm grau
(há
nos dois). Nesses casos, o limite quando
costuma ser a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (os chamados coeficientes principais). Vou mostrar isso de maneira algébrica para ficar claro e utilizável na prova.
Passo 8
Dividimos numerador e denominador por
(a maior potência presente) para destacar os termos que desaparecem quando
:
Passo 9
Agora aplicamos o comportamento dos termos
quando
: sabemos que
Portanto, no quociente do passo anterior, os termos
e
vão para
. Assim a expressão que sobra é
Formalmente usamos que se
e
com
, então
.
Passo 10
Concluímos que a sequência é convergente e que o limite é
. Vou te lembrar numa frase amiga: quando os graus dos polinômios no numerador e denominador são iguais, o limite ao infinito é sempre a razão dos coeficientes dos termos de maior grau — aqui
sobre
.
Resposta
Primeiros quatro termos:
Convergente: sim. Limite:
Convergente: sim. Limite: