Exercício 2. Escreva os quatro primeiros elementos das sequências e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
\left(\frac{3 n^{2}+1}{2 n^{2}+2}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{3 n^{2}+1}{2 n^{2}+2}
e pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros elementos da sequência e (2) determinar se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, achar o seu limite. Vou interpretar a sequência no sentido usual, isto é, com n=1,2,3,\dots, porque assim faz sentido falar dos “quatro primeiros” termos.

Passo 2

Vamos obter o primeiro termo substituindo n=1 na expressão de a_n. Substituindo e simplificando:
a_1=\frac{3\cdot 1^{2}+1}{2\cdot 1^{2}+2}=\frac{3+1}{2+2}=\frac{4}{4}=1.

Passo 3

Agora o segundo termo com n=2. Substituímos n=2 e simplificamos:
a_2=\frac{3\cdot 2^{2}+1}{2\cdot 2^{2}+2}=\frac{3\cdot 4+1}{2\cdot 4+2}=\frac{12+1}{8+2}=\frac{13}{10}.

Passo 4

Terceiro termo com n=3. Substituímos n=3 e simplificamos:
a_3=\frac{3\cdot 3^{2}+1}{2\cdot 3^{2}+2}=\frac{3\cdot 9+1}{2\cdot 9+2}=\frac{27+1}{18+2}=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}.

Passo 5

Quarto termo com n=4. Substituímos n=4 e simplificamos:
a_4=\frac{3\cdot 4^{2}+1}{2\cdot 4^{2}+2}=\frac{3\cdot 16+1}{2\cdot 16+2}=\frac{48+1}{32+2}=\frac{49}{34}.

Passo 6

Resumo dos quatro primeiros termos: a_1=1, a_2=\dfrac{13}{10}, a_3=\dfrac{7}{5}, a_4=\dfrac{49}{34}. (Esses são os quatro primeiros elementos pedididos.)

Passo 7

Agora vamos estudar a convergência quando n\to\infty. A ideia prática para limites de frações de polinômios é comparar os graus (potências) de n no numerador e no denominador. Aqui ambos têm grau 2 (há n^{2} nos dois). Nesses casos, o limite quando n\to\infty costuma ser a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (os chamados coeficientes principais). Vou mostrar isso de maneira algébrica para ficar claro e utilizável na prova.

Passo 8

Dividimos numerador e denominador por n^{2} (a maior potência presente) para destacar os termos que desaparecem quando n\to\infty:
a_n=\frac{3 n^{2}+1}{2 n^{2}+2}=\frac{n^{2}\left(3+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\dfrac{2}{n^{2}}\right)}=\frac{3+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{2}{n^{2}}}.

Passo 9

Agora aplicamos o comportamento dos termos \dfrac{1}{n^{2}} quando n\to\infty: sabemos que
\frac{1}{n^{2}}\to 0 \quad\text{quando}\quad n\to\infty.
Portanto, no quociente do passo anterior, os termos \dfrac{1}{n^{2}} e \dfrac{2}{n^{2}} vão para 0. Assim a expressão que sobra é
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{3+0}{2+0}=\frac{3}{2}.
Formalmente usamos que se b_n\to b e c_n\to c com c\neq 0, então b_n/c_n\to b/c.

Passo 10

Concluímos que a sequência é convergente e que o limite é \dfrac{3}{2}. Vou te lembrar numa frase amiga: quando os graus dos polinômios no numerador e denominador são iguais, o limite ao infinito é sempre a razão dos coeficientes dos termos de maior grau — aqui 3 sobre 2.

Resposta

Primeiros quatro termos: 1,\;\dfrac{13}{10},\;\dfrac{7}{5},\;\dfrac{49}{34}
Convergente: sim. Limite: \dfrac{3}{2}

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