Exercício 3. Use a Definição 3.2, para provar que as seguintes sequências têm o limite L. \left(\frac{5-n}{2+3 n}\right)_{n \in \mathbb{R}}, L=-\frac{1}{3};
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a Definição 3.2, que a sequência
\left(\frac{5-n}{2+3n}\right)_{n\in\mathbb{N}}
tem limite L=-\frac{1}{3}.
Informações dadas:
A fórmula do termo geral da sequência é \frac{5-n}{2+3n}.
O número candidato a limite é L=-\frac{1}{3}.
A tarefa é: para todo \varepsilon>0 encontrar um N\in\mathbb{N} (dependente de \varepsilon) tal que, para todo n\ge N, valha \left|\frac{5-n}{2+3n}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right|<\varepsilon.
Passo 2
Vou usar exatamente a Definição 3.2 (definição \varepsilon-N de limite de sequência): dizer que
\lim_{n\to\infty} a_n = L
significa que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{5-n}{2+3n} e L=-\dfrac{1}{3}. O plano é calcular explicitamente |a_n-L|, manipular para obter uma desigualdade em função de n, e a partir daí escolher N em função de \varepsilon.
Passo 3
Calculo a diferença a_n-L. Faço a soma de frações passo a passo:
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira de x. Por construção temos N(\varepsilon) > \dfrac{17}{9\varepsilon} e N(\varepsilon)\in\mathbb{N}. Além disso N(\varepsilon)\ge 1.
Passo 6
Agora verifico que essa escolha funciona. Seja \varepsilon>0 arbitrário e tome N=N(\varepsilon) como acima. Para todo n\ge N temos n\ge 1 e n\ge N > \dfrac{17}{9\varepsilon}. Então, pelas desigualdades anteriores,
Portanto, para esse N vale que todo n\ge N satisfaz |a_n-L|<\varepsilon. Isso é exatamente a condição da Definição 3.2, logo \lim_{n\to\infty}\dfrac{5-n}{2+3n} = -\dfrac{1}{3}.
Passo 7
Comentário prático e incentivo: se quiser ver um exemplo numérico, tome \varepsilon=0,01. Então \dfrac{17}{9\varepsilon}=\dfrac{17}{0,09}\approx188{,}888, assim N=\lfloor188{,}888\rfloor+1=189. Para todo n\ge 189 teremos \left|\dfrac{5-n}{2+3n} + \dfrac{1}{3}\right|<0{,}01. Bom sinal de que o raciocínio funciona na prática — você consegue transformar o \varepsilon em um N explícito.