Exercício 3. Use a Definição 3.2, para provar que as seguintes sequências têm o limite L.
\left(\frac{5-n}{2+3 n}\right)_{n \in \mathbb{R}}, L=-\frac{1}{3};

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a Definição 3.2, que a sequência
\left(\frac{5-n}{2+3n}\right)_{n\in\mathbb{N}}
tem limite L=-\frac{1}{3}.
Informações dadas:
  • A fórmula do termo geral da sequência é \frac{5-n}{2+3n}.
  • O número candidato a limite é L=-\frac{1}{3}.
    A tarefa é: para todo \varepsilon>0 encontrar um N\in\mathbb{N} (dependente de \varepsilon) tal que, para todo n\ge N, valha \left|\frac{5-n}{2+3n}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right|<\varepsilon.

Passo 2

Vou usar exatamente a Definição 3.2 (definição \varepsilon- N de limite de sequência): dizer que
\lim_{n\to\infty} a_n = L
significa que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{5-n}{2+3n} e L=-\dfrac{1}{3}. O plano é calcular explicitamente |a_n-L|, manipular para obter uma desigualdade em função de n, e a partir daí escolher N em função de \varepsilon.

Passo 3

Calculo a diferença a_n-L. Faço a soma de frações passo a passo:
\frac{5-n}{2+3n} -\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5-n}{2+3n} + \frac{1}{3}.
Coloco no mesmo denominador:
\frac{5-n}{2+3n} + \frac{1}{3} = \frac{3(5-n) + (2+3n)}{3(2+3n)}.
Agora simplifico o numerador:
3(5-n) + (2+3n) = 15 -3n +2 +3n = 17.
Portanto
\frac{5-n}{2+3n} + \frac{1}{3} = \frac{17}{3(2+3n)} = \frac{17}{6+9n}.
Como o denominador é positivo para n\in\mathbb{N}, temos a diferença absoluta
\left|\frac{5-n}{2+3n} -\left(-\frac{1}{3}\right)\right| = \frac{17}{6+9n}.

Passo 4

Para controlar \dfrac{17}{6+9n} por algo mais simples noto que, para todo n\ge 1,
6+9n \ge 9n,
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\frac{17}{6+9n} \le \frac{17}{9n}.
Assim, para n\ge 1,
\left|\frac{5-n}{2+3n} + \frac{1}{3}\right| \le \frac{17}{9n}.
Essa desigualdade é útil porque \dfrac{17}{9n} é uma função simples e decrescente de n.

Passo 5

Queremos que \left|\dfrac{5-n}{2+3n} + \dfrac{1}{3}\right|<\varepsilon. Pelo que obtemos, basta garantir
\frac{17}{9n} < \varepsilon.
Isto é equivalente a
n > \frac{17}{9\varepsilon}.
Para transformar isso em um N\in\mathbb{N} que funcione para todo \varepsilon>0, escolho
N(\varepsilon) = \left\lfloor \frac{17}{9\varepsilon}\right\rfloor + 1,
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira de x. Por construção temos N(\varepsilon) > \dfrac{17}{9\varepsilon} e N(\varepsilon)\in\mathbb{N}. Além disso N(\varepsilon)\ge 1.

Passo 6

Agora verifico que essa escolha funciona. Seja \varepsilon>0 arbitrário e tome N=N(\varepsilon) como acima. Para todo n\ge N temos n\ge 1 e n\ge N > \dfrac{17}{9\varepsilon}. Então, pelas desigualdades anteriores,
\left|\frac{5-n}{2+3n} -\left(-\frac{1}{3}\right)\right| = \frac{17}{6+9n} \le \frac{17}{9n} \le \frac{17}{9N} < \varepsilon.
Portanto, para esse N vale que todo n\ge N satisfaz |a_n-L|<\varepsilon. Isso é exatamente a condição da Definição 3.2, logo \lim_{n\to\infty}\dfrac{5-n}{2+3n} = -\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Comentário prático e incentivo: se quiser ver um exemplo numérico, tome \varepsilon=0,01. Então \dfrac{17}{9\varepsilon}=\dfrac{17}{0,09}\approx188{,}888, assim N=\lfloor188{,}888\rfloor+1=189. Para todo n\ge 189 teremos \left|\dfrac{5-n}{2+3n} + \dfrac{1}{3}\right|<0{,}01. Bom sinal de que o raciocínio funciona na prática — você consegue transformar o \varepsilon em um N explícito.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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